Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
2??+ (X)==O1 (13.18)
которая совпадает с уравнением (13.12), если положить X -¦¦ 2п -f 1. Следовательно, нормированные функции имеют вид:
(х) = 2-»/2я-і/* (п\)-]'Ч~х2/2Н„ (х). (13.19)
На рис. 13.2 изображены функции ijj1(x) и ijj2W- Граничные условия квантовой системы требуют, чтобы п
34* 632 'Г Л AfcA 13. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
было целым:
Iim У (г) = 0.
г-у ±оо
В частном случае, когда п—>v и не равно целому числу, решение уравнения (13.10), если его представить рядом, показывает, что при х больших Hn (*) ведет себя, как *ve*2, поэтому функции Ijjv W и yVv(Z) возрастают на бесконечности, а саму функцию Tv (z) не удастся нормировать. С учетом ограничения на п энергия E окажется равной
? = + (13.20)
Поскольку /і пробегает целые значения, энергия квантована, а ее минимальное значение равно
?мин (13.21)
что является следствием принципа неопределенности.
В различных задачах квантовой механики, особенно в молекулярной спектроскопии иногда необходимо рас-
OO
сматривать интегралы вида j xre~*2 Hn (х) Hm (х) dx. Потен-
—00
циал осциллятора широко применяется в расчетах структуры ядра (оболочечная модель ядра).
Уравнение (13.10) имеет второе независимое решение. Это — функция Эрмита второго рода, которая имеет форму бесконечного ряда (см. разд. 8.4 и 8.5) и не представляет физического интереса.
Упражнения*
1. С помощью производящей функции показать, что Нп(х) =
00
= S ?-1)" ОГ^ПГ <2*)л-"-
8=0
2. Используя интегральную теорему Коши, получить интегральное представление Hn (х), основанное на определении (13.1), если контур интегрирования содержит точку г=—*.
Отеш, Яп W=-^ e»s j-f^raz.
* Большое количество примеров рассмотрено в книге Wilson Е. et al. Molecular Vibrations. N.Y., McGraw-Hill, 1955. 13-і. ІіОЛЙНОМЬі ЛАҐНЇФА
533
Прямой подстановкой убедиться, что этот результат удовлетворяет уравнению Эрмита.
3. Вероятность перехода между двумя состояниями осциллятора, которые характеризуются квантовыми числами тип, определяется
OO
интегралом j хе~х2Нп (х) Hm (х) dx. Доказать, что этот интеграл
-OO
равен jtl/22ti-irt|5mj ^j-i-n17^ (п-1-1)! om, „+lt т. е. такой переход возможен только между соседними энергетическими уровнями tn — = п±1. Указание. Возвести производящую функцию в квадрат, воспользовавшись при этом двумя различными парами переменных (х, S) и (х, t).
4. Показать, что интеграл, встречающийся при подсчете среднего квадрата смещения квантового осциллятора,
00
1 х2е-*2#п (X) Hn (х) dx=nl^n\ (я+у) .
1 —оо
Указание. Воспользоваться соотношением (13.2) и свойством ортогональности.
OO
5. Показать, что J j№~x*n(x)dx — О для m целого, О<т<
—00
<П—1.
6. Проверить равенство, связывающее полиномы Эрмита с полиномами Лежандра:
оо
п о
Указание. Воспользоваться представлением полинома Hn (х) рядом и почленно проинтегрировать.
7. С помощью производящей функции получить рекуррентные соотношения (13.2) и (13.3).
13.2. ПОЛИНОМЫ ЛАГЕРРА
Дифференциальное уравнение Лагерра. Полиномы Лагерра. Рассмотрим дифференциальное уравнение Лагерра
ху" (X) + (1 - X) у' (X) + пу (X) - 0. (13.22)
Попытаемся представить у, или, вернее, уп, поскольку у зависит от rt, контурным интегралом
1 ^ р-ЗС2/(1-2).
= V=ZFZdz- <13-23) §34
-I4 л AhA із. специальны f. функций
Контур интегрирования (рис. 13.3) охватывает начало координат, однако точка z — 1 остается вне контура. Учитывая результаты разд. 6.3, имеем
T=Jjvrd*, jftw^^—j—jdz.
(13.24)
Подставляя эти производные в левую часть уравнения (13.22), получаем
-L ? _і___+_я_1 e-x»M-z)dz =
2пі у Ld - z)3zn~l (1 ~zfzn (! -г) z"+i J
IOdr е-^1"2' "1 = 2(13-25)
Если проинтегрировать полный дифференциал по выбранному контуру так, что конечное значение будет равно начальному, интеграл обратится в нуль и тем самым будет доказано, что функция г/„(х)вформе (13.23)—решение уравнения
Лагерра.
Таким образом, полиномы Лагерра Ln (х) обычно определяют с помощью соотношения
7 / Ч 1 ? е-*г/(|-г) .
L» WУ TT=^dz'
(13.26)
Это в точности соответствует тому, что мы должны получить, исходя из ряда
-*2/(1-2) g(x, Z)= =
OO ¦
-2М*)ЛИ<1, (13.27)
п=О
если умножим его на z~n~l й проинтегрируем по контуру вокруг начала координат. Как и при исчислении вычетов (см. разд. 7.3), в данном случае сохранится только член г-1, поэтому функцию g (х, z) можно отождествить с производящей функцией для полиномов Лагерра.
Рис. 13.3. Контур интегрирования для полиномов Лагерра. 13.2. ПОЛИНОМЫ .ИЛГР.РРА
535
Введем преобразования
-=S-X1 z ~~~ і (13.28)
тогда
(13-29)
где новый контур интегрирования из комплексной плоскости S содержит внутри себя точку S — X. На основании
Рис. 13.4. Полиномы Лагерра. '
интегральной теоремы Коши (для производных)
Ln (*) = • 2JS (*пе~ж), п — целое. (13.30)
Мы пришли к формуле Родригеса для полиномов Лагерра. Эти представления функции Ln (*) позволяют выразить ее в виде ряда (для целых п)
