Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Qn W= (~\)т)\-XT12^nQn(X), (12.226) Qnm (X)^ (-Iri-=^1Q1U (X)i -\<х<\, т> 0.
(12.227)
Некоторые авторы опускают множитель (— 1)т. Используя эти определения, легко получить
Q\(x) Qr1W-yQiW.
(12.228)
Множитель In [(I+ ^:)/(1 — *)] характерен для присоединенных функций Qn W как ПРИ так и при т-=0. Для больших х(х2>1) или для всей комплексной плоскости с линией разреза — 1 < х < 1 имеем
Q^t (г) = (га — 1)ж/2Q„ (г), т>О (12.229)
и соотношение (12.227) с отрицательным верхним индексом.
* Эта формула использовалсь для получения Qn (z) в форме (12.209).
33* 516
*
ГЛАВА 12. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
Интегральные представления. Из анализа интеграла Шлефли (см. разд. 12.4) запишем второе независимое решение уравнения Лежандра в виде интеграла:
I (t-z?+1
Интегрирование ведется по «восьмерке» (рис. 12.11, а), внутри которой подынтегральная функция однозначна, кроме
а
fQf- —-Tl
ку-— -1 -^J H
5
Рис. 12.11. Контур в виде «восьмерки» (а) и деформированный
контур (б) для Qv(x).
того, такой контур позволяет получить решение, отличное от Pv (г). Введя нормировочный множитель, запишем
^vv ' Ai sinnv J
С .
Деформируем контур, как показано на рис. 12.11, б, тогда QvW=^Jgpld/, v>-l. (12.230) 12.10. СФЕРОИДАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 5,7
Доказательство тождественности этого интеграла функции QvM вынесено в упр. 6 (см. ниже).
Подстановка у=(е«Р VFfl-V^-OKetp/z+I-! Vz-1) после довольно громоздких выкладок сводит интеграл (12.230) к новому
сю
U+VsSdlf]*' wa^-1' (12'231>
аналогичному (12.73), с помощью которого представлены полиномы Лежандра P71 (z). Для аналитичности и однозначности функции Qv (z) в плоскости делается разрез от +1 до — оо.
Упражнения
1. Записать соотношение четности для функции Qn (х).
2. Убедиться, что функции Лежандра второго рода Qn (х) удовлетворяют тем же (рекуррентным соотношениям, что и полиномы Лежандра Pn (х), как для | х |< 1, так и для | х | > 1
(2/1 +1) XQn (х) = (/г+1) Qn-и (х) ¦ I- ZtQ71-! (x), (2/г+ l)Qn (x) = Q;+i (x)-Qn_x(x).
3. Используя рекуррентные формулы, показать (ие прибегая к определителю Вронского), что
я [Pn M Qn-і (*) -Pn-1 (X) Qn Wl = Pi (X) Qo (X)- P0 W Qi (*).
Непосредственной подстановкой доказать, что правая часть этого уравнения равна единице.
2/г+ 1
4. Доказать, что Pn+1 (х) Qn^1 (х)~Pn_, (х) Qn.H (х) = ^^
rn+l ^n Г \ / г__2 4-1
5. Доказать, что Qn (cos 0) = (-l)n—^ In J •
1
6. В предположении, что интеграл \ —-j-r dt удовлетворяет
I1(Z-I)v^1
уравнению Лежандра (V 1), показать, что вследствие четкости из него не могут получаться любые Pv (z). Кроме того, доказать,
что он равен 2^1 Qv (г). Указание. Разложить знаменатель по степеням t/z (для IZ j > t) и проинтегрировать с помощью бета-функции (см. разд. 10.4).
12.10. СФЕРОИДАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
Рассмотрим физические задачи о диэлектрическом и проводящем сфероидах, помещенных в однородное электрическое поле. Для упрощения ось симметрии сфероида выберем параллельной направлению первоначального 518
Г ,4 А В Л 12. ФУНКЦИИ ЛЕЖЛМДРЛ
электрического поля. Это позволяет исключить азимутальную зависимость и делает задачу аксиально симметричной.
Координаты сплющенного сфероида. Если сфероид имеет сплющенную форму, систему координат удобно выбрать
так, чтобы координатные поверхности также представляли собой сплющенный сфероид. Можно задать систему координат с помощью уравнений *
я = ach и sin u cos ф, у = ach «sin v sin ф, z = ash и cost/,
(12.232)
поверхность U = U0 — это сплющенный сфероид, уравнение V = V0 описывает однополостный гиперболоид, а уравнение ф = фо — полуплоскость, проходящую через ось Z (рис. 12.12). Удобнее заменить здесь переменные U1 v, ф
* Эта система называется системой координат сплющенного сфероида, см. разд. 2.11. 12.10. СФКРОПДЛЛЬПЬП- ClICT KM Ы КООРДІШЛТ
ш
новыми I, ср, которые связаны друг с другом следующим образом:
E==COSO, ~1<?<1; ? = sh U1 0<?<оо. (12.233)
В новой системе координат поверхность S = O представляет собой круг, тогда как ? = So > 0 — эллипсоид вращения (сплющенный сфероид). Уравнение E = 0 определяет плоскость с круглым отверстием, а 5=1 задает линию, которая перпендикулярна к этому отверстию и кругу ? = О и проходит через их общий центр. После новой замены уравнения (12.232) приобретут вид
*~pcosq>, с/ = р sin ф, Z — аЕ?» (12.234)
где
P^al(I-E1)(I-K1)Ivi. (12.235)
Координаты Ei С» Ф образуют правую систему, причем Io X Со = <р0.
Будем искать решение уравнения Лапласа, которое в новых переменных имеет вид
а Гп aH 1 д Г M 1 ГЦ « S2 + C2 dJL-O
(12.236)
Здесь мы воспользовались коэффициентами Ламе L /E2K2W2 / / ?2+?Ч1/2
/гф = а[(1-Е2)(1 U2)]1/2 = p. (12.237)
Пусть решение уравнения (12.236) можно представить в виде X (E)Z (Э Ф (ф). Затем, разделив переменные (см. разд. 2.5), можно убедиться, что A" (E) и Z (J) удовлетворяют присоединенному уравнению Лежандра и присоединенному уравнению Лежандра чисто мнимого аргумента соответственно, а Ф (ф) подчиняется обычному уравнению гармонического осциллятора. Потенциал V запишем в виде ряда
