Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Г уМуіуМ+і¦ rfo_ !/rT 1/(M-M-I-I) (L + M+21
J yLyIyM-I to" J/ (21 + 1)(2/, + 3) '
f rfn... і/Tr/(t-M) (L-yVTT)
J rLyIyL-I to" K (21-1)(21 + 1) '
С помошью этих интегралов исследуют угловую корреляцию электронов внутренней конверсии.
4. Доказать соотношение, которое встречается в теории ядерных квадрупольных моментов:
j Yf (в, т)«..вУ? (0, + .
5. В квантовой механике операторы момента количества движения задаются в виде
Показать, что
{Lx+iLy) Ylm (0, ф) =-Y(L-M) (L+M+ 1) Yl, м+і (0, Ф),
(Lx-Hy) Ylm (В, ф) = -V(LH-AI) (L-M+T) KL, (0, Ф).
Используя фазовый множитель Кондона —Шортли, проверить знак минус перед квадратными корнями.
12.9. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА ВТОРОГО РОДА
Решение уравнения Лежандра в виде ряда. Чтобы решить уравнение
= (12.177)
ПОЛОЖИМ (см. гл. 8)
OO
У = 2 ал**+*', (12.178)
X=O
* Заметим, что х можно заменить комплексной переменной г. 12.9. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА ВТОРОГО РОДА
507
откуда
OO
У'= S (A+ AJe^ku-1. (12Л79)
оо
У" = S (k+l)(k + l-\(12.180)
а,*= о
Подставим эти разложения в исходное дифференциальное уравнение
X=O
OO
+ S [n(n+l)-2(k + \)-(k + X)(k + k-\)}aKxk+*> = 0.
X=O
(12.181)
Определяющее уравнение
Zfei(Zfe-I) = O (12.182)
имеет решения ? = 0, 1. Пусть k = Q. Попытаемся получить решение, положив а0=\, Ci1 = O. Тогда для коэффициентов ряда имеем рекуррентное соотношение
(А,+ 2) (X+l)aua+[n(n+l)-2A,-X(A,-l)lflX = 0f
(12.183)
из которого следует, что
п - П9 1Я4\
--(Х+1)(Х+2) ^ (12Л84)
Обозначим ряд с коэффициентами (12.184) р„, тогда pnW= ^^Hls^n-Vnjn + Vin+Z) (12185)
Пусть теперь ? = I и а0— 1, at = 0, тогда рекуррентное соотношение для коэффициентов
fl^2 =--ЩЩ—fl^ (12,186)
Обозначив новый ряд qm получим
qn(x) = x ("-1X"+2)^ і (ft-3)(tt-I)(n-f2)(n+4)^
(12.187)
Таким образом, общее решение уравнения (12.177) запишется в виде
Уп (X) - AnPn (X) + Bnqn (X)1 (12.188) 508 ' г -jI ABA 12. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
при условии, что ряды, которые определяют это решение, сходятся.
При целом положительном четном (или нулевом) п ряд Pn ограничен и, введя надлежащий нормирующий множитель, его можно переписать так:
Pn(X) If2 V4^ М'Н
= (-1)5 WW P2S M e iW1 ^ W
для ri = 2s. (12.189)
Если и — целое положительное нечетное число, ряд рп обрывается после некоторого конечного числа членов,, и
Рп(х) = (— 1)( 2п-і{[(я—1)/2]!}2 ^W =
= (— 0s 2?^!)2 ^2s+* W ~ ( — 0s ^ (2s)Il^' W
для n = 2s4-l. (12.190)
Заметим, что эти выражения справедливы не только для всех вещественных х} но и для любых комплексных значений, за исключением бесконечно удаленной точки. Постоянные множители в (12.189) и (12.190) выбраны с таким расчетом, чтобы функция Pn соответствовала полиномам Лежандра, определенным производящей функцией.
Иногда удобно изменить порядок членов в этих рядах на обратный. Это достигается подстановкой S = п!2-Х в (12.189), S = (п — 1)/2 — X в (12.190), после чего уравнения (12.189) и (12.190) сводятся к одному:
[П/2] S=o
в котором верхний предел суммирования равен nl2 при четном п или (п — 1)/2 при нечетном п. Выражение (12.191) в точности повторяет (12.8), полученное прямо из производящей функции. Именно из соображения совпадения (12.191) с (12.8) и были выбраны нормировочные множители в уравнениях (12.189) и (12.190). Очевидно, что для очень больших X
м*)-* S^*"- (12192)
Ii 12.9. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА ВТОРОГО РОДА
509
В разд. 12.10 нам понадобится функция Pn чисто мнимого аргумента'. Для этого в уравнении (12.191) сделаем замену jc = t'?, тогда
[п/2]
Pn «0 = (- D"'2 S у„ С"". (12.193)
s=0
Функции Лежандра второго рода Qn(^c). Подчеркнем, что мы использовали рп только для четных п, a qn — только для нечетных п. Теперь определим второе решение уравнения Лежандра:
= (-1)8-(2?!^*) Для п = 2s, (12.194)
?, (*)=(-іГ'>" ^-y^Vw =
=--(-1)*"^iJirftHiW ДЛЯ «=2s+l. (12.195)
Нормировочные множители выбраны здесь таким образом, чтобы функции Qn удовлетворяли тем же самым рекуррентным соотношениям, что и Pn. В этом можно убедиться, если подставить выражения (12.194) и (12.195) в формулы (12.17) и (12.26). Применяя признак сходимости Коши к коэффициентам ряда (12.184) и (12.186), получаем, что Qn (дг) сходится при | х | < 1 и расходится при | х \ > 1.
Чтобы получить второе решение для области X2 > 1, будем искать решение уравнения (12.177) в форме ряда по нисходящим степеням. Пусть
OO
У =S
X=O
тогда
OO
у'= S
X=O
оо
(12.196)
(12.197)
У"= 2 (12.198)
х—о 510
ГЛАВА 12. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
Подставим эти выражения в уравнение (12.177):
I X— 1 )6^(*)*-*-2 +
X-O
оо
+ Ц |л(п+ 1) — 2(ife —Я) —(Л — — X- 1)1 =
X-O
(12.199)
Из требования обращения в нуль коэффициентов при степени Xh получим определяющее уравнение
A(A+l)-n(n+l) = 0 (12.200)
с решениями
Jfe = л, — я — 1. (12.201)
При целом л решение k = n (поскольку п> 0) приводит к уже знакомым полиномам Лежандра Pn (х). Из второго решения k - —я — 1 возникает ряд, коэффициенты которого удовлетворяют рекуррентному соотношению
