Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
в атоме водорода, равна J = <р0 —-—- е_г/а° г sin 0. Используя
выражение
32majj
«Нтт^т«-
найти магнитный векторный потенциал, создаваемый этим электроном. Указание. Воспользоваться теоремой сложения для оценки у, угла между радиусами-векторами T1 и г2. Интегрированием по rfr2 по сфере определить полную кулоновскую энергию. 12.8. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ТРЕХ ФУНКЦИЙ y? 503
12.8. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ТРЕХ СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
В квантовой механике часто встречаются интегралы
вида j Yl}*YL22Y^dQ или J YfP L2Y^dQi в которых
интегрирование производится по всему телесному углу. Первый и третий сомножители в подынтегральном выражении представляют собой волновую функцию конечного и начального состояния соответственно, а средний сомножитель — оператор, матричный элемент которого необходимо вычислить. С помощью методов теории групп можно найти выражение, общее для таких интегралов. Эти методы приводят к появлению коэффициентов векторного сложения или, как их называют иначе, коэффициентов Клебша — Гордана, для которых составлены специальные таблицы *. На интегралы наложены три ограничивающих условия общего характера. Во-первых, интеграл обращается в нуль, если векторная сумма орбитальных моментов L отлична от нуля I Li — L3 I L2 <! L1 H- L3. Во-вторых, интеграл также равен нулю, если не выполнено условие M2 + 4 Ms-Mi. Это положение служит теоретическим обоснованием векторной модели атомной спектроскопии. Наконец, в-третьих, интеграл исчезает, если произведение
YbfYbtYL33 нечетное, т. е. если сумма Mi + M2 + M3 + + Li + L2 + L3 не равна целому четному числу. Последнее условие отражает закон сохранения четности.
Для вычисления многих интегралов, родственных записанным выше, уже имеются разработанные приемы. Интегрирование по азимутальному углу проводится с учетом соотношения
2л
Є-ІМ1ФЄІМ2ФЄІМЗФ Жр ^ ^JftfMt-Hb 0. (12.168)
Физически это соответствует сохранению г-компоненты момента количества движения.
Применение рекуррентных соотношений. Рассматривая выражения (12.152), легко убедиться, что зависимость
Kl22, а значит, и Pf22 (0) от угла 0 можно выразить через
* Кондон Е. иШортли Г. Теория атомных спектров, Перев. с англ. M., Изд-во иностр. лит., 1949- «
504 * г л а в а 12. функции лежандра
cos 0 и sin 0. Однако с помощью рекуррентных соотношений для полиномов Лежандра можно рассматривать не
просто cos 0 или sin 0, а комбинацию этих функций с Fl33. Например, из уравнений (12.88) и (12.89) имеем
cos eyf=;; "]1/2 Kf+1+
+ ВёТОГ^ (12.169)
-PSiSfT2«')^ (12'17°)
В зависимости от нормировки эти соотношения могут содержать множитель (—1)м.
Воспользовавшись этими уравнениями, получим
j К?/* cos OK? d?-r(L-M+l)(L+M + l)-li/2 ' д
= L (2L + l)(2L + 3) J 0мь +
r(L-M)(L + M)li? д П9 \79\
где появился б-символ Кронекера с индексами L, L ± 1 вследствие закона сохранения орбитального момента количества движения. Интеграл (12.172) встречается в теории электромагнитного излучения (при описании электрического диполя). Из него вытекает известное правило отбора, в соответствии с которым переход на уровень с орбитальным квантовым числом L1 может происходить только из состояний с орбитальными квантовыми числами L1 — 1 или L1 + 1. Применение рекуррентных соотношений к интегралам типа j Yl*P2 (cos 0) YbdQ (описывает квадру-
польный момент) требует больших усилий, однако не вызывает никаких принципиальных трудностей, 12.8. Интегралы от произведения трех функций ^
Коэффициенты Слетера. Интегралы от произведения трех сферических функций возникают также при вычислении энергии взаимодействия между двумя атомными электронами,
например интеграл вида [ ^5(1)^(1)-^(2)^(2)^^2,
J г12
в котором можно разложить расстояние T12 = Ir1-г2| с помощью производящей функции, в результате чего появятся полиномы Лежандра Pk (cosy). Если к ним применить теорему сложения и предположить, что угловая зависимость волновых функций г|э(1) и т|)(2) имеет вид соответственно
Kl11 (G1, фі) и (0г, ф2), то первоначальный интеграл распадается на интеграл от радиальной части и два других интеграла вида
. ai(L11 т^Ущі j YtfYWldQ. (12.173)
Заменяя в полной волновой функции ^a(I)—> ^a (2), i|>?(2)—>i|)?(l), приходим к интегралам вида
b'k(Llt тц L2, YISa { YLTYk1-niYTldQ. (12.174)
Атомные волновые функции вычисляются с помощью соотношений
я*(Li, W1, L2, т2) = ак(Ц, Ai1)a*(L2, т2), (12.175) bk (L1, Шц L2, т2) = 1? (LltW1, L2, т2)]2 (12.176)
Коэффициенты uk и bk часто называют коэффициентами Слетера *.
Упражнения
1. Вычислить интеграл j Pff11 (cos 0) sin QPf (cos 0) dQ.
2. Показать, что
aS(I, m)=s 1, ai = (l,m) = 0, a; (Ot 0)==0, aj = (lt 0) = -| ,
± 1)=-1.
* Протабулированные значения коэффициентов Слетера см. в книге Кондон E., Ш о р т л и Г. Теория атомных спектров. Перев. с англ. M., Изд-во иностр. лит., 1949. 506 * Г Л А В А 12. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
3. Проверить, что
j YfYlYf*dQ = -^=r, JKjfKjKg1 dO-
-1/Jl r/(L + M+\)(L-M + l) V 4я V (2L +- і) (2L + 3)
