Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
cos Y = cos O1 cos O2 + sin O1 sin O2 cos (<Pi — фг)» (12.154)
которое наиболее просто доказывается с привлечением методов векторного анализа (см. гл. 1). Теорема сложения утверждает, что
¦
Tl
Pn(COSf)=^ J1 (-І)"ИГ(Є„ ?,)1^-(?,?). (12.155)
Ttl=-TL
или, что то же самое
п
4л
1
т^-п
Pn (cos V) = 2 С (O1HP1)^r(O3l4)?). (12.156) І2.7. tEOPEMA СЛОЖЕНИЯ СФЕРЙЧЕСКЙХ ФУНКЦИЙ 490
Теорему сложения можно записать и через присоединенные полиномы Лежандра:
Pn (cos у) = Pn (cos O1) Pn (COS е2) +
n
+ 2 2 ^n (COS9,)Р*(Cose2)cosm(cp,-<p2). (12.157)
m— і
Доказательство теоремы сложения. Продифференцируем уравнение (12.156). Пусть g(9, ф)—функция, которую можно
Рис. 12.9. Иллюстрация к теореме сложения.
разложить в ряд Лапласа. Выберем две системы: Xi, уи Zi и хъ уъ Z2 (рис. 12.9). Тогда
g(9lt фі) =--Kn (Ol, фі) в системе Xli уи Zif І
» \ (12.158)
= 2j CtmnYn (у, Ф) в системе X2t Уъ гг.
В самом деле, выбор нуля азимутального угла \|) в данном случае не играет роли. При у = 0 имеем
в(Єі,Ф0 Iv-o =^(^)"2- (12-159)
32» •г Jl A В A 12. ФУНКЦИЙ лежАндрА
так как Pn(I)-I, тогда как Pn (1) = 0(тф0). Умножив уравнение (12.158) на У«* (у, г|>) и проинтегрировав по сфере, получим
J ?(Є І, Фі) Yn (у, ф = ап0. (12.160) Учитывая (12.158), перепишем полученный результат
j Yn Фи Фі)П*0у. ?)^1 = ^0. (12.161) Вновь предположим, что Pn (cos у) можно представить рядом
Pn(COSу) = S bmnY^{O1, Фі), (12.162)
tn=—п
в котором коэффициенты Ьпт — функции O2 и ф2, т. е. определяются ориентацией оси г2. Умножим это разложение на К (фі, B1) и проинтегрируем по переменным O1 и ф1 по поверхности сферы:
j Pn (cos у) YT (O1, ф1) do8li щ - bnm. (12.163)
С помощью сферических функций выражение (12.163) можно привести к виду
(Йі)1/2 іn(Y' (0" ^du=b^- <12Л64>
Индексы у элемента телесного угла d? опущены. Интеграл берется по всем телесным углам, поэтому выбор полярной оси не имеет существенного значения. Сравнивая уравнения (12.161) и (12.164), получаем
из уравнения (12.159),
=^ri y: (е2, <р2)
из уравнения (12.158).
(12.165)
Здесь произведена замена индексов Ot O2, Фі ->• ф2 для у-^0. Подставим теперь (12.165) в уравнение (12.162), после чего получается формула (12.156), что и доказывает теорему сложения. І2.7. ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ §01
На основе теории групп формулу (12.156) можно доказать более изящным способом (используя группы вращения *).
Теоремой сложения пользуются при построении функции Грина для трехмерного уравнения Лапласа в сферической системе координат. Если точечный источник расположен на полярной оси (г = 0, 0 = ф, (р = 0), то на основании уравнения (12.4) получим
J_ R
1
r-k а!
OO
2 Pn{cosу)-— для Г>0,
п=0
OO
(12.166)
Tl
2 Pn (cos у) для г<а.
п= О
После поворота системы координат источник переместится в точку (а, 02, фг), a точка наблюдения—в точку (г, O1, ^l). Тогда
О (г, 015 ф1; а, 02, ФЇ)=~ =
OO п
г>а;
=2 2 ^ О01,Ф.) C(B2lCp2)1^f,
г <а.
Ti=O т=—п
со п
ті—О т——п
(12.167)
Упражнения
1. При доказательстве теоремы сложения предполагалось, что VrJ (9і, фл) можно разложить в ряд по функциям У™ (02, фг)» в котором т изменяется от — п до -{-п, а п остается фиксированным. Как обосновать суммирование только по положительным значениям
индекса п? Указание. Исследовать однородность функции KjJt, т. е. возможность выразить VrJJ1 через cos""''0« sinf 0 или хп~р-*ург*/гп,
* См. например, Rose М. Е. Elementary Theory of Angular Momentum. N.Y., Wiley, 1957. * iVlABA І2. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
-1
или исследовать поведение уравнения Лежандра [V2-{-п (n+ 1)//-2] X X Pn (cos 0) = 0 прн повороте системы координат.
2. Электрон в атоме, характеризующийся моментом количества движения L и магнитным квантовым числом Af, описывается волновой
функцией (г, 0, ф) = / (г) Yf (0, ф). Показать, что плотность вероятности в полностью заполненной электронной оболочке сферически
L
симметрична, т. е. величина ^ "Ф* (г» ф) ^ (г» Ф) не зависит
M=-L
ОТ 0 и ф.
3. Потенциал электрона (находится в точке г,,) в поле Z прото-
Z
е2 Xl *
нов, расположенных в точках гр, равен ф= — 2j jj:--—р •
Показать, что этот потенциал можно записать иначе:
p=l L1 M
где ге > г р. Как запишется ф при ге < гр?
4. Каждый из двух ls-электропов в атоме гелия можно описать
-5 J e_Zr/ao в отсут-
JXOIq /
ствие другого электрона. Здесь Z = 2,a0= ft2/me2_радиус Бора. Найти потенциальную энергию взаимодействия двух электронов, которая определяется интегралом
f Г (T1) ф* (г2) ф (T1) ф (г2) drt dr2. J rIZ
Omoem: 5c2Z/8«o. Замечание. = г| sin G1 AfO1 ^i2 = I T1-T2 J.
5. Распределение заряда на 2р-оболочке в атоме водорода
характеризуется выражением р = -^т—~ь г2е_г/а° sin2 0, где а0 —
OtJIQq
радиус Бора. Определить электростатический потенциал, соответствующий этому распределению заряда.
6. Плотность электрического тока, создаваемого 2р-электроном
