Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
j Р7(X)Ff Wdx = ^Ffl -і -і
(12.95)
где X s (х2 — 1).486
«ГЛАВА 12. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
і і
Пусть р Ф q, причем, для определенности, р < q. Отметим, что т одинаков для обоих полиномов (это существенное условие). Далее снова проинтегрируем по частям, все проинтегрированные части равны нулю из-за множителя X = X2 — 1. Проинтегрировав q + т раз, получим
і
Pp M Pq M dx
-і
*
(_l)m(_ipm 1J dq+m , dp+m Ч ?
-1
Подынтегральную функцию из правой части этого равенства раскроем по формуле Лейбница:
уд ^m ( ут <Р»те ур\ _
dx*+m \ dxP±m ) ~~
i=q-fm
= X' S .,<'+*» (12.97)
^J ||(<7+т—0! dx')+m~l dxP+m+i і—О
Поскольку в члене Xm показатель степени х не больше 2т, имеет место неравенство
g + /n-i<2m, (12.98)
т. е. производная равна нулю. Аналогично
p + m + i<2p. (12.99)
Решение этих неравенств относительно индекса і. будет ненулевым, если
i>q — tn, i^p^m. (12.100)
Но по предположению р < <7, поэтому решение отсутствует, следовательно, и интеграл равен нулю. Очевидно, такой же результат должен быть и при р > q.
Если р = </, остается один член, соответствующий i = q — m. Подставив результат (12.97) в уравнение (12.96), получим
і
т
I
[РдШ (X)I2 dx
-і 1
M)W(?+m)l f ™ I d«« / dn xq\ . 12 j n
-і12.5. присоединенные полиномы лежандра 487
Поскольку
Xm = (*« - 1 )m = X2m - тх2т~2 + ..., (12Л 02) ^Хт = (2т)!, (12.103)
уравнение (12.101) сводится к следующему:
с2-104)
-і -і
Интеграл справа равен
(-l)'jsin^8d6 = (rUMi! (,2.105) 0
(см. упр. 1 к разд. 10.4). Комбинируя (12.104) и (12.105), можно записать условие ортогональности і
или в сферической системе координат
я
j Р»(cos0)Р?(cos0)SinBde = зі_.Й±2|ли. (12.107) о
Условие ортогональности полиномов Лежандра следует как частный случай из этого результата, если положить т = 0, при этом из условия ортогональности (12.106) сразу же вытекают условия (12.43) и (12.48).
Можно сформулировать условие ортогональности для присоединенных полиномов Лежандра, у которых нижние индексы одинаковы, а верхние различны. В этом случае (см. упр. 3) і
j PtWPiW(I-*)-1 ^ = 1??-'(12Л08> -1
Обратим внимание на появление нового весового множителя (1 —X2)"1.
Магнитное поле замкнутого тока. Как и другие уравнения математической физики, уравнение для присоединенных полиномов Лежандра часто возникает совершенно489
глава 12. функции ЛЕЖАНДРА
неожиданно. В качестве примера рассмотрим магнитное иоле В и магнитный векторный потенциал А в экваториальной плоскости от кругового тока (рис. 12.8).
Из электромагнитной теории известно, что элементу тока / dh соответствует магнитный векторный потенциал
4я г
(12.109)
Беря за основу эту формулу, а также учитывая симметрию системы, мы замечаем, что А имеет только одну (р0-компоненту, не зависящую от ф:
А = фЛМ)- (12Л1°)
Из уравнений Максвелла
VxH = J (D == 0, в единицах МКСА), (12.111)
где J — плотность тока. Поскольку
P0H-B = VxA, (12.11-2) имеем
VxVXA-PoJ- (12.113)
В этой задаче J всюду равна нулю, за исключением проводника, по которому течет ток. Следовательно, вне проводника с учетом равенства (12.110)
Рис. 12.8. Закон Био — Савара в применении к круговому току.
VxVxq)oAp(Г, 0) = 0.
(12.114)
Расписывая ротор в сферических координатах (см. разд. 2.4), имеем
M
ф
VxVxtpоАр(г, 0)
2 дАц 1 д*А
дг2
Г дг г2 002 f2 deLL&o/1<pJ-
(12.1 lb)
!12.5. ПРИСОЕДИНЕННЫЕ ПОЛИНОМЫ ЛЕЖАНДРА 489
Полагая Лф (г, 0) = R (г) в (6) и разделяя переменные, получаем
r'^+2rf-n(n+\)R = 0, (12.116)
^ + ctge^ + «(«+l)e-sl?-e = 0. (12.117)
Второе уравнение есть уравнение для присоединенных полиномов Лежандра (12.83) с т=1, поэтому можно сразу записать решение:
в (0) = Pi(cos0). (12.118)
Константа разделения положена равной п(п-{-1) с тем, чтобы обеспечить требуемое поведение решения.
Возьмем R (г) = г«, тогда а = п, —п—1. Первое значение а следует отбросить, так как решение должно исчезать при г—>оо, поэтому
V -7kr Pn (COS 0) = cn (±)n+I P1n (cos 0) (12.119)
и
OO
ApMHS ^n (f)n+1 PHcos0), (r>a). (12.120)
n=i
Вследствие симметрии задачи Лф должна быть инвариантной относительно отражения в экваториальной плоскости
Др(г, cos©) = Др(г, -COS0), (12.121)
поэтому, учитывая условие (12.93) о четности функции
Pn (cos 0), следует, что Cn = O для четных п.
Для полного определения постоянных можно взять формулу (12.109), вычислить компоненту Bz [Bz = Br (г, 0 = О)] и сравнить ее с выражением, полученным из закона Био—Ca-вара:
v ><А H Fike [ W (sin e^) ] = 2T-0 +т • ^ •
(12.122)490
ГЛАВА 12. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
Используя соотношение
(12.123)
(12.124)
(12.125)
(12.126)
С другой стороны, можно также записать
Be(г, 9) =-1.?^= 2 CnZi-^P!,(cosЄ) г>а.
Tt-і
(12.127)
Закон Био—Савара утверждает, что в единицах МКСА
(12.128)
Проинтегрируем теперь по периметру проводника (радиус а); магнитное поле вдоль оси г равно kBzy причем '