Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арфкен Г. -> "Математические методы в физике" -> 124

Математические методы в физике - Арфкен Г.

Арфкен Г. Математические методы в физике — М.: Атомиздат, 1970. — 712 c.
Скачать (прямая ссылка): matematmetodivfizike1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 118 119 120 121 122 123 < 124 > 125 126 127 128 129 130 .. 185 >> Следующая


со

S о А (х) = f W (12.49)

п= О

равномерно сходится к f~(x) на отрезке [—1,1].-Это означает, что функция / (*) и ее производная f' (х) на данном отрезке должны быть, по крайней мере, кусочно-непрерыв-ными. Коэффициенты CLn можно определить, умножая ряд на Pn (х), а затем почленно интегрируя этот результат. Учитывая условия ортогональности (12.43) и (12.48), получаем

і

^am= Jf (X) Pm(X) dx. (12.50)

Теперь функцию / (ас) можно разложить в рад по полиномам Лежандра:

OO 1

/ (*>= 2 2jtT1 S t W р» W м Рп W- <12'51>

n=0 -1 12.3. ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ

475

Этот ряд обладает теми же свойствами, что и ряд Фурье (см. гл. 14). В частности, для доказательства единственности разложения в ряд можно использовать свойство ортогональности (12.43).

Гравитационное поле Земли. Рассмотрим гравитационный потенциал Земли U (для внешних точек пространства), пренебрегая азимутальными эффектами. Разложим функцию U в ряд по полиномам Лежандра

OO

U(r, 0) = f [4- San(^)n+1 Pn(cos9)], (12.52)

п=2

где R = (6378,1 ± 0,1) км (экваториальный радиус); GMIR = (62,494 ± 0,001) кмЧсека. Изучение движения искусственных спутников Земли позволило установить, что а2 = (1,08279 ± 0,00015) X IO"3, а3 = (—2,4 ± 03) X X IO"6, 04 = (—1,4 ± 0,2) X 10~б. В этом сказывается гру-шевидность Земли. Коэффициенты более высоких порядков в пределах экспериментальной точности равны нулю. Отсутствие члена с полиномом P1 объясняется тем, что он описывает смещение, а не деформацию.

Проводящая сфера в однородном электрическом поле. Определим теперь возмущенный электростатический потенциал при внесении нейтральной проводящей сферы радиусом г0 в первоначально однородное электрическое поле. Электростатический потенциал V * подчиняется уравнению Лапласа

VW = O. (12.53)

Задача обладает сферической симметрией, поэтому решение будем искать в сферических координатах (это упростит граничные условия). Разделим переменные

ОЭ OO

V = 2 CintnPn(cos9)+2^Р"г»+Т0)• (12.54)

п=0 п=0

Вследствие симметрии зависимость от <р отсутствует (центр сферы совпадает с началом координат, а ось г параллельна однородному полю).

* Следует подчеркнуть, что задача заключается не в отыскании разложения V. в ряд по полиномам' Лежандра. Здесь мы вновь обращаемся к задачео .граничных-значениях. 476

ГЛАВА 12. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА

Сформулируем теперь граничные условия Дирихле. Невозмущенное электростатическое поле равно E0j потребуем, чтобы

V(г—> оо) = —E0(z)=— E0rcos0 = — E0rPi(cos0). (12.55)

Поскольку разложение в ряд по полиномам Лежандра единственно, можно приравнять коэффициенты при Pn (cos, 0) в уравнениях (12.54) при г-* оо и (12.55), после чего

Qi=-E01 Q71 = O (Л>1). (12.56)

Если для п > 1 коэффициенты CLn отличны от нуля, то при больших г эти члены будут доминировать, в результате чего граничное условие (12.55) окажется нарушенным. В качестве поверхности нулевого потенциала можно выбрать поверхность проводящей сферы и .плоскость 0 = я/2, это означает, что

V(r = r0) = ao+-^+(A-E0T0) P1(CosS) +

ОЭ

+ 2^?5^' (12-57) П=2 rO

Для того чтобы это условие выполнялось при любых 0,

коэффициенты при полиномах Pn (cos 0) должны равняться нулю*, т. е.

ao = b0 = 0**y Ьп = 0 (п>2), (12.58)

тогда как

= Е0г*0. (12.59)

Окончательно электростатический потенциал (вне сферы) равен

V= — EfPi (cos 0) + ^8 P1 (cos 0) =

= EorP1 (cos 0)( 1-А) • (12'6°)

* Это вновь эквивалентно утверждению, что разложение в ряд по полиномам Лежандра (или по любому другому полному набору ортогональных функций) единственно.

** Коэффициент при P0 равен O0 + b0/rQ. Мы положили b0 = О (и, следовательно, oo = 0), так как сфера не имеет собственного заряда. Если сфера несет собственный заряд qt то 60 Ф Ou 12.4. ДРУГИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОЛИНОМОВ ЛЕЖАНДРА 477

Решение уравнения Лапласа, которое удовлетворяет граничным условиям, единственно. Электростатический потенциал V9 записанный в форме (12.60), удовлетворяет граничным условиям и, следовательно, представляет собой решение уравнения Лапласа для рассматриваемой задачи.

Можно показать далее, что на поверхности сферы индуцируется поверхностный заряд плотностью

о = SGqE0 cos 0 (12.61)

и электрический дипольный момент

Р=--4пг90е0Е0. (12.62)

Упражнения

1. Заряд q смещен по оси г на расстояние а от центра сферической полости радиусом R. Показать, что электрическое поле, усредненное по объему а равно дулю, а электрическое поле, усредненное по объему 0<г^а, равно E = VEz = — к^/4пєоа2 = = — кпда/Зго (в единицах МКСА). Здесь п— число смещенных в единице объема зарядов. Указание. E= — Уф.

2. В разд. 9.3 по методу Шмидта получена система функций ип (x)=xnt п=0, 1, 2, ..., ортогональных на отрезке —

с весом W (х) = \. Доказать, что ип пропорциональна Pn (х). Указание. Доказательство провести методом математической индукции.

3. Разложить б-функцию Дирака в ряд по полиномам Лежандра

на отрезке — 1 ^ * ¦< 1.

1

4. Доказать, что j х(1-х2)P'^P'mdx=0, если тфп± 1.

-1

Предыдущая << 1 .. 118 119 120 121 122 123 < 124 > 125 126 127 128 129 130 .. 185 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed