Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
со
S о А (х) = f W (12.49)
п= О
равномерно сходится к f~(x) на отрезке [—1,1].-Это означает, что функция / (*) и ее производная f' (х) на данном отрезке должны быть, по крайней мере, кусочно-непрерыв-ными. Коэффициенты CLn можно определить, умножая ряд на Pn (х), а затем почленно интегрируя этот результат. Учитывая условия ортогональности (12.43) и (12.48), получаем
і
^am= Jf (X) Pm(X) dx. (12.50)
Теперь функцию / (ас) можно разложить в рад по полиномам Лежандра:
OO 1
/ (*>= 2 2jtT1 S t W р» W м Рп W- <12'51>
n=0 -112.3. ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ
475
Этот ряд обладает теми же свойствами, что и ряд Фурье (см. гл. 14). В частности, для доказательства единственности разложения в ряд можно использовать свойство ортогональности (12.43).
Гравитационное поле Земли. Рассмотрим гравитационный потенциал Земли U (для внешних точек пространства), пренебрегая азимутальными эффектами. Разложим функцию U в ряд по полиномам Лежандра
OO
U(r, 0) = f [4- San(^)n+1 Pn(cos9)], (12.52)
п=2
где R = (6378,1 ± 0,1) км (экваториальный радиус); GMIR = (62,494 ± 0,001) кмЧсека. Изучение движения искусственных спутников Земли позволило установить, что а2 = (1,08279 ± 0,00015) X IO"3, а3 = (—2,4 ± 03) X X IO"6, 04 = (—1,4 ± 0,2) X 10~б. В этом сказывается гру-шевидность Земли. Коэффициенты более высоких порядков в пределах экспериментальной точности равны нулю. Отсутствие члена с полиномом P1 объясняется тем, что он описывает смещение, а не деформацию.
Проводящая сфера в однородном электрическом поле. Определим теперь возмущенный электростатический потенциал при внесении нейтральной проводящей сферы радиусом г0 в первоначально однородное электрическое поле. Электростатический потенциал V * подчиняется уравнению Лапласа
VW = O. (12.53)
Задача обладает сферической симметрией, поэтому решение будем искать в сферических координатах (это упростит граничные условия). Разделим переменные
ОЭ OO
V = 2 CintnPn(cos9)+2^Р"г»+Т0)• (12.54)
п=0 п=0
Вследствие симметрии зависимость от <р отсутствует (центр сферы совпадает с началом координат, а ось г параллельна однородному полю).
* Следует подчеркнуть, что задача заключается не в отыскании разложения V. в ряд по полиномам' Лежандра. Здесь мы вновь обращаемся к задачео .граничных-значениях.476
ГЛАВА 12. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
Сформулируем теперь граничные условия Дирихле. Невозмущенное электростатическое поле равно E0j потребуем, чтобы
V(г—> оо) = —E0(z)=— E0rcos0 = — E0rPi(cos0). (12.55)
Поскольку разложение в ряд по полиномам Лежандра единственно, можно приравнять коэффициенты при Pn (cos, 0) в уравнениях (12.54) при г-* оо и (12.55), после чего
Qi=-E01 Q71 = O (Л>1). (12.56)
Если для п > 1 коэффициенты CLn отличны от нуля, то при больших г эти члены будут доминировать, в результате чего граничное условие (12.55) окажется нарушенным. В качестве поверхности нулевого потенциала можно выбрать поверхность проводящей сферы и .плоскость 0 = я/2, это означает, что
V(r = r0) = ao+-^+(A-E0T0) P1(CosS) +
ОЭ
+ 2^?5^' (12-57) П=2 rO
Для того чтобы это условие выполнялось при любых 0,
коэффициенты при полиномах Pn (cos 0) должны равняться нулю*, т. е.
ao = b0 = 0**y Ьп = 0 (п>2), (12.58)
тогда как
= Е0г*0. (12.59)
Окончательно электростатический потенциал (вне сферы) равен
V= — EfPi (cos 0) + ^8 P1 (cos 0) =
= EorP1 (cos 0)( 1-А) • (12'6°)
* Это вновь эквивалентно утверждению, что разложение в ряд по полиномам Лежандра (или по любому другому полному набору ортогональных функций) единственно.
** Коэффициент при P0 равен O0 + b0/rQ. Мы положили b0 = О (и, следовательно, oo = 0), так как сфера не имеет собственного заряда. Если сфера несет собственный заряд qt то 60 Ф Ou12.4. ДРУГИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОЛИНОМОВ ЛЕЖАНДРА 477
Решение уравнения Лапласа, которое удовлетворяет граничным условиям, единственно. Электростатический потенциал V9 записанный в форме (12.60), удовлетворяет граничным условиям и, следовательно, представляет собой решение уравнения Лапласа для рассматриваемой задачи.
Можно показать далее, что на поверхности сферы индуцируется поверхностный заряд плотностью
о = SGqE0 cos 0 (12.61)
и электрический дипольный момент
Р=--4пг90е0Е0. (12.62)
Упражнения
1. Заряд q смещен по оси г на расстояние а от центра сферической полости радиусом R. Показать, что электрическое поле, усредненное по объему а равно дулю, а электрическое поле, усредненное по объему 0<г^а, равно E = VEz = — к^/4пєоа2 = = — кпда/Зго (в единицах МКСА). Здесь п— число смещенных в единице объема зарядов. Указание. E= — Уф.
2. В разд. 9.3 по методу Шмидта получена система функций ип (x)=xnt п=0, 1, 2, ..., ортогональных на отрезке —
с весом W (х) = \. Доказать, что ип пропорциональна Pn (х). Указание. Доказательство провести методом математической индукции.
3. Разложить б-функцию Дирака в ряд по полиномам Лежандра
на отрезке — 1 ^ * ¦< 1.
1
4. Доказать, что j х(1-х2)P'^P'mdx=0, если тфп± 1.
-1