Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
с»
^ j'm(x) jn(x)dx = 0, тфп, т, я>0; (11.176)
— 00
00
1 Iin(X)]2 dx = ^fl , т = п. (11.177)
— OO
Частица в сферической яме. Рассмотрим движение кван-товомеханической частицы в сфере радиусом а. Волновая функция такой частицы удовлетворяет уравнению
= (11.178)
с граничными условиями: if (г а) < оо и -ф (а) = 0. Это соответствует потенциалу V — О при r^oii V — оо при г>а. Здесь Ti — постоянная Планка, деленная на 2л; т — масса частицы и E — ее энергия. Определим минимальное значение энергии, для которого волновое уравнение допускает решение. Уравнение (11.178) есть уравнение Гельмгольца с радиальной частью (см. разд. 2.5):
d*R 2dR Г2тЕ я(я + 1)1«_п п] MQ\
ж ^'TdFJ«-U- U1-1'у) С учетом (11.148) при /2 = 0 получим
R = Au(3^-r)+Bnl(V^r). (11.180)
Мы положили индекс /1 = 0, так как в противном случае при любой угловой зависимости энергия будет увеличиваться. Из физических соображений сферическая функция 458
Г JI А В А 11. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
Неймана должна быть отброшена, поскольку она расходится в начале координат. Чтобы удовлетворить второму граничному условию (при любых углах), потребуем, чтобы
(1/r2mE/h) а — а, где а — корень /0, т. е. J0 (а) = 0. Последнее условие ограничивает допустимые значения энергии определенным дискретным набором, иными словами, второе граничное условие приводит к квантованию энергии Е. Первый корень /0 при а — п, поэтому
= (11.181)
a это значит, что энергия частицы, находящейся в сферической яме конечного радиуса, имеет минимальное положительное значение либо равна нулю. Этот вывод иллюстрирует принцип неопределенности Гейзенберга.
Упражнения
1. Показать, что одно из дифференциальных уравнений, получившихся после разделения переменных в уравнении Гельмгольца в конических координатах, представляет собой сферическое уравнение Бесселя.
2. Получить рекуррентные соотношения (11.160) и (11.161), в которых fn (X) обозначают сферические функции Jn (ж), пп (х),
h^(x) и h^ (х). Убедиться, что из этих двух соотношений следует дифференциальное уравнение для сферической функции Бесселя fn (*) Х% (*) + 2Xfn (x) + [x*-~tl (п-f 1)1 fn (*) =0.
3. Методом математической индукции показать, что для произвольных неотрицательных целых л справедливо соотношение (11.166).
4. В теории дифракции встречаются интегралы Френеля (рис. 11.9, а)
t t
X (0 = j cos (u2) dv, у (0 = j sin (и2) dv. 0 0
Показать, что эти интегралы можно разложить в ряд по сферическим функциям Бесселя
OO
X(S) = J j Lt(u)u^2du^Si/2 2 I2n(s),
О n —О
8 OO
y(S)=~ ^ IO(U)Ui^2 du = S^2 2 /2/1+1 (s)'
n= O <Г
Рис. 11.9. Интегралы Френеля (а) и сферические функции Бесселя мнимого аргумента (б). 460
Г Л A 13 А 11. ФУНКЦИЙ БПССЕЛЯ
5. Показать, что функция пп (.г) равна (—l)n+1 ~\/п/2х (а),
если пп(х) = ^njTx Nn+ij2{x).
6. Показать, что определитель Вронского для функций }п (.v) и пп (л:) равен jn (х) п'п {х) — }'п (х) пп (х) = Ifx'1. Указание. Воспользоваться свойством ортогональности.
7. Доказать, что из уравнения (11.173) следует условие ортогональности (11.174), и, кроме того, убедиться в справедливости соотношения
OO
о .
8. Убедиться в справедливости соотношения (11.177).
9. Используя интегральное представление
показать, что сферические функции Бесселя jn (дг) выражаются через тригонометрические функции следующим образом:
. . . sin X . , . sin X cosx
/•<*>-—• п(*) = —г---—.
10. Считая, что сферические функции Бесселя мнимого аргумента (рис. 11.9, б) равны in (х) = ~\/nj2x /п+1/2 (х), kn (х) —
= ~]/2fnx I(n + l/2 (x), показать, что
<o W = sh x/x, k0 (x)= а определитель Вронского имеет следующий вид:
in(x) *;(*)-/; (X) kn (х)=--^-.
л
Убедиться, что сферические функции Бесселя мнимого аргумента удовлетворяют соотношениям:
іп(х) = гпіп(іх), in+l (X) = Xn іп(х)=хп(^у^ ,
kn (x) {ix)) knH (x) - -X« A (x-4n),
(A \n p-x
ти)
11. Показать, что in(x) имеет четность (—l)n, a kn(x) не имеет определенной четности.
12. Записать интеграл ортогональности для функций jb(kr) в сфере радиусом R при граничном условии jL,(kR) — 0. Условие 11.6. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
461
ортогональности используется при классификации электромагнитного излучения по моменту количества движения.
13. Проверить формулу
А<'> W /42>' (*)-*<„•>' (X) Л»> (хн
14. Показать, что X-1CosVjc2-^X* и х-1 sm + — производящие функции для сферических функций Бесселя, т. е.
OO
X-I cos У X2-2Xt:--'- 2 ~ /п-1 (*) ?п,
п= О
со
х-1 sin V&+2U = 2 Цр я«-1W tn, m <.
п=0
15. Показать, что сферические функции Бесселя in (х) можно определить как
OO
x-ich у#+т = 2 1п-І (*) tn> мі< Цг •
n —О
16. Проверить, что с точностью до множителя я/2х функции /о, /л, Hq и Ai1 выражаются через асимптотические представления (11.144) и (11.145) функций Jv и Mv при v-~l/2, 3/2. ГЛАВА 12
ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА 12.1. ПРОИЗВОДЯЩАЯ ФУНКЦИЯ
Физическое обоснование. Электростатика. По аналогии с функциями Бесселя полиномы Лежандра удобно ввести через производящую функцию, причем такое определение
