Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
пнями
г
(11.150)
Іп(х) = У ?/,1+1/2(*).
"Я W = / ?Wn+,/2(*M~ І)П+І/ ? Лі-1/2 «*,
W = 1, 2 (*) = Ь W + ІПп (X)1
h{n2) (X) - YTx 1^U t* W = /» W -inn W •
Эти функции (рис. 11.8, а) можно представить рядами, аналогичными ряду (11.5) для Jn, заменяя в последнем п на я +1/2:
Ли-i/2 W =
оо
2
s=0
(-Os
X \2s+n+l/2
s! («4-я-4-1/2)!
(1)
(11.151)
Из формулы удвоения Лежандра
1
2\ (* + у) 1 = 2-^^/2(22+1)! (11.152)
получаем
_ OO
/ {х) 1А у +n)\ix\
ln\X) у 2х? ni/2(2s + 2n.bl)!sl Ы
2«+n+l/2
(2s + 2п-\-1)!
S=o
Далее, поскольку Л/п+1/2 W = (— l)n+1 /-n-1/2 (*). из Уравнения (11.5) следует:
OO
s=0
X \ 2s—п—1/2
* Это возможно, так как cos (п -f- 1/2) л = 0. а
Рис. 11.8. Сферические функции Бесселя (а) и Неймана (б). 454
Г Л ADA 11. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
отсюда
MJH-ir'^S (ir-duss)
s=0 s! (s-n-i) I Вновь применим формулу удвоения, тогда
OO
«nW-lnJn+rZJ s! (2s —2л)! * • (H.IOO) 8=1
Однако эта формула неудобна для вычислений при целом положительном а, так как она содержит факториалы и в числителе, и в знаменателе. Введенные сферические функции Бесселя тесно связаны с тригонометрическими функциями, в чем можно убедиться, рассматривая специальный случай и — 0. Мы имеем
со
'-W^tSie = T' <ILI5?>
S=o
тогда как из уравнения (11.156) получаем
no W- (11.158)
л
По определению сферических функций Ханкеля (11.150)
h(0l) W = — (sin x—i cos я) = — eix,
1 / \ (11.159)
h™ (je) = — (sin X-f і cos x) — ~ e"iJC.
Связь с тригонометрическими функциями, вероятно, легче проследить, рассматривая асимптотические ряды из разд. 11.5. При V = ± 1/2, ± 3/2, ± 5/2, . . . асимптотические ряды оказываются ограниченными и представляют собой просто комбинацию конечного числа тригонометрических функций.
Рекуррентные соотношения. Рассмотрим рекуррентньґе соотношения, которые позволят получать сферические функции Бесселя более высоких порядков. Их можно ввести с помощью рядов, однако, как и в случае функций Бесселя мнимого аргумента, воспользуемся рекуррентными 11.6. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
455
соотношениями (11.10) и (11.12):
fn-t (X) + fn, 1 W =2^fn(X)i (И .160) /і/п-і (X) — (n-l- l)/n+i (*) - (2а + 1) fn (X). (и. 1 б 1)
Перегруппировав эти соотношения или сделав подстановку в уравнения (11.15) и (11.17), получим
I*"1/» Wl-xUHf»-i w. (11-162)
^n(x)]=-x-nfn+i(x). (11.163)
Здесь под fn можно понимать jn, пп, h(n или кЦК Из уравнения (11.163) сразу получим
. sin* COS* ч
/і W = д-2---J- 1 ]
/з п. з
/2 W = (73—7 j sm cos x; J
/ V tos* . sin* ч
Пі (Х) = ~~г---' I
,, /3 M з . (11-165)
Ч = — COS X sin X и т. д. j
Методом математической индукции можно установить, что
(AnsTi). (11-166)
= (11.167)
Заметим, что сферические функции Бесселя /п (дет) и пп (х) всегда можно выразить через sin* и cos х с коэффициентами, являющимися полиномами с отрицательными степенями X. Для сферических функций Ханкеля имеем
(1Ы68)
= i (-1)-^(^)" (4х). (11.169)
Ортогональность. Перепишем условия ортогональности (11.58) и (11.59) для обычных функций Бесселя с помощью 456
ГЛАВА 12. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
б-функции и соответствующих подстановок для /п: і
J in (ах) jn (bx) X2 dx = J 6ab {-^[x^jn WUa}' • (11.170) о
Здесь а и b — корни функции Jn (или /п).
Мы получили условие ортогональности, связанное с корнями функций Бесселя. Уравнение (11.170) гарантирует ортогональность волновых функций jn (г) при фиксированном п. (Если п изменяется, то ортогональность будет обеспечиваться сферической функцией.) Другой тип ортогональности — ортогональность по индексам, можно получить следующим образом. Из уравнения (11.148) при X = kr имеем
х2/; + 2х/; + [х2-/г(/г +1)1/„ = Of
X2Zm+ 2x/m +[-K2-M (/71+ l)]/m=0. ( ' '
Умножим первое уравнение на jmt а второе на jn и вычтем один результат из другого:
[11 (п + 1) - т (т + 1)] jnjm = X2 (І піт —І піт) +
+ 2 (ІпІт /п/'тп) — [X2 (ІпІтп ІпІт)]» . (11.172)
Последнее уравнение представляет собой запись уравнения (11.148) в форме Штурма — Лиувилля (см. разд. 9.1). Проинтегрируем его от нуля до бесконечности:
со
[п (п + 1)—т (т +1)] j Zm (х) in (X) dx =
-I X2 (і'пІтЧпІт) (11.173)
Очевидно, при х = 0 правая часть обращается в нуль (предполагается, что п и т—неотрицательные целые числа). При х->оо она также исчезает, если (п—т)~четное. В этом можно убедиться, изучив поведение асимптотических
форм in(х)sin (*—-тр) и /n(*)->jCOS (х--^Lj .
Учитывая сказанное, запишем
о ,., . . ./ X / пп\ . ( тп\
X2 (JnU-InIm) COS ^ X— YJ Sin X J
—sin (х-~) cos (х~ ™) + 0 (х-1) =Siny (/i-m)+0 (х"1). 11.6. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
457
Следовательно,
00
1 UWMto-^-lSftn. (П.174)
О
Правая часть последнего равенства обращается в нуль при четном (п — tn). Если (п — т) — нечетное, одна из сферических функций Бесселя, скажем /т, будет нечетной, тогда как другая будет четной:
/„(*) = (-!)»/,(-*). (11-175)
Отсюда следует, что при распространении нижнего предела до —OO
