Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Kv (Z) = - (vI1/2)y 2 r\ (V- г-1/2)1 (2?)"Г Х
г=0
OO
X Je-Wr-1^d/. (11.139)
о
Почленное интегрирование (справедливое для асимптотического ряда) приводит к требуемому асимптотическому разложению
К h\ ~ !/"7rP-'Г1 1 (4v2-])2 1 (4у2-Ж4У2-32) -I Aviz;- у 2z е ^l-t- П8г і "Г ---J-
(11.140)
Интеграл (11.136), в котором интегрирование ведется вдоль вещественной оси, сходится только в области — л/2%< <argz<jt/2; в выражении (11.140) область сходимости может быть расширена до —л < arg г < л. Бесконечный ряд (11.140) расходится, однако он является асимптотическим в том смысле, что при достаточно больших г функция Kv (z) может быть аппроксимирована этим рядом с любой наперед заданной точностью (определение и свойства асимптотических рядов см. в разд. 5.10).
Опираясь на полученное асимптотическое разложение Kv (z), можно получить аналогичные разложения всех других функций Бесселя, в том числе и гиперболических функций Бесселя.
* При V = O интеграл расходится логарифмически, что также согласуется с логарифмической расходимостью Ко (г) (см. разд. 11.4). 11.5. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 449
1. Из формулы
±ї*+1Н™(іг) = КЛг) {Н.141)
имеем
(Z) = У — e-fW2) (v+i/2)e«' X
г JZ ?
Г . (4у2 — 12) (4у2_12)(4у2_32) 1
XL1+t 8z 2!(8г)2 -"J'
_^<argz<-f-. (11.142)
2. Вторая функция Ханкеля получается комплексным сопряжением первой:
Hv' (г) = ]/^еі(л/2) (v+1/2)e-i2 X
В разд. 7.4 в качестве примера использования метода перевала приведен другой способ получения асимптотических представлений функций Ханкеля.
3. Функция Jv (г) представляет собой реальную часть Hv] (г), поэтому
Г (4у2-12)(4у2-32) -1
xL1 2! (8г)2 + sin[Z-(v + i)|-](-i^u + ...)}. (11.144)
4. Функция Неймана равна мнимой части функции Hi" (z), поэтому
=V^ {sin[z-(v+t)T]х
Г (4у2-12)(4у2-32) I
xL Щ8г)2 -r-'-j-r
29-1257 450
ГЛАВА П. ФУНКЦИИ ВЕССЕЛЯ
5. Наконец, регулярная гиперболическая функция или функция Бесселя мнимого аргумента Iv(z), заданная соотношением
Iv (Z) ^i- v/v (iz), (11.146)
имеет асимптотический вид
/ / \ _ С* Гі 4у2—12 (4у2 — 12)(4у2_32)
'V\z) -у2т L ll(8z) + 21 (8г)2 '"J'
(11.147)
На этом мы завершим рассмотрение асимптотических разложений. Однако отметим следующее. Если отвлечься от функции z~il2, то Jv и Nv ведут себя соответственно как косинус и синус. Нули этих функций почти равномерно отстоят друг от друга на интервалы, равные я; в пределе при Z оо эти интервалы оказываются в точности равными я. Функции Ханкеля ведут себя так же, как мнимая экспонента, а функции Бесселя мнимого аргумента Iv и Kv — как положительные и отрицательные экспоненты. Указанное асимптотическое поведение этих функций оказывается достаточным, чтобы сразу же, исходя из физических соображений, исключить одну из них из решения конкретной физической задачи. Как установлено в разд. 11.2, асимптотические формы могут быть использованы для получения определителей Вронского (см. ниже. упр.4).
Упражнения
1. При выборе нормировки интегрального представления /Cv (г) (11.136) предполагалось, что оно не содержит функции Iv (г). Как
C2
-1
Рис. 11.7. Контуры интегрирования для функции Бесселя мнимого аргумента (в ^-плоскости).
убедиться, что это интегральное представление нельзя записать в виде Kv (z)-f-є/V (z), где е Ф О? 11.6. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ 451
2. Показать, что у [г)-= г9 j c~zt (№—\)v~{t2 dt удовлетворяет
уравнению Бесселя мнимого аргумента, если контур интегрирования выбран таким, что t~zl (І2—^v+1/2 имеет одно и то же значение в начальной и конечной точках контура. Убедиться, что этим требованиям удовлетворяют контуры Ci и C2 (рис. 11.7).
3. Использовать асимптотические разложения для проверки определителей Вронского:
Jv (.к) і (x) + J_v {X) /v+1 = —2 S'"xVJt ,
2
Jv (x) iVv+1 (x) — Jv+lNv (*)=——» Jv(x) Hfll (X)-Jv^t (X)H^ W = -J7 , Sv (X) Kv (X)-/; (X) Kv (X) ^
» At
Iv (x) Kv+1 (X) + /v+і w Kv (X) =Jr .
Л
В последней формуле доказательство того, что постоянная равна единице, не зависит от v. Означает ли это, что Zv (¦*) ftv+2 (*)+ Z(х) Kv (х) = 1 /х? Проверить, используя асимптотическое пред-сїавление. В чем здесь ошибка?
11.6. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
Если в уравнении Гельмгольца в сферических (или конических) координатах переменные можно разделить, то радиальная часть уравнения приобретает вид
r2~-\-2r~+[k2r2~n(n-\-l))R^0. (11.148)
Параметр k входит в исходное уравнение Гельмгольца, а п (целое) — константа разделения, которую часто в физике отождествляют с моментом количества движения. Очевидно, (11.148) не является уравнением Бесселя, но подстановкой R (kr) = Z (kr)l(kr)i/2 оно приводится к нему:
Здесь Z — функция Бесселя порядка ti + 1/2 (л — целое). Вследствие важности и распространенности сферических координат комбинация Zn_j_i/2 (kr)l(kr)i/2 встречается часто.
Определения. Обычно новые функции называют сферическими функциями Бесселя и определяют соотноше-
29* /
452 ' r JI Л П Л м. ФУНКЦИИ БКССПЛЯ
