Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арфкен Г. -> "Математические методы в физике" -> 117

Математические методы в физике - Арфкен Г.

Арфкен Г. Математические методы в физике — М.: Атомиздат, 1970. — 712 c.
Скачать (прямая ссылка): matematmetodivfizike1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 111 112 113 114 115 116 < 117 > 118 119 120 121 122 123 .. 185 >> Следующая


я



-1 я'2

~ 2-(^rY ( ch (z cos О) Sin2v 0 dO.

я / (v —1/2)! V 2 / I

4. Убедиться, что Kv (*) удовлетворяет рекуррентным соотношениям

/Cv-I (X)-ZCv+! (*) = —у- /Cv (*), /Cv-I (X) + /Cv+i (*) - -2/С; (X)t

5. Проверить, что функцию Kv (х) можно задать соотношением (11.118), откуда следует, что Kv (х) — К-v (*) •

6. Показать, что определитель Вронского для функций Jv (х) и Kv (*) имеет вид Iv (х) K'v (х)— I'v (де) Kv (x) — — l/x.

7. Показать, что для v>—1/2 функцию Kv (z) можно представить как

О

00

1 11.4. ФУНКЦИИ ПР.ССПЛ5! МНИМОГО АРГУМЕНТА

445

8. Пусть.г = (^2^//2)1/2. Доказать, что

OO

1 2 Г

9. Показать, что функции Jv (*), Nv (лс), Iv (х) и Kv{x) удовлетворяют дифференциальному уравнению четвертого порядка

d* , 2 d3 2v2+l d*

У+— '-TZrV--ZS---7Zo~y~^~

dx* J ' X dxз y . 2v2-fl d . / v4-4v2

je3 dx

I V 4v2 \

—P—1Jyax0-

10. Показать, что -Nq (kr)/4 есть функция Грина для уравнения Гельмгольца в цилиндрических координатах (без осевой или азимутальной зависимости).

11. Функции Грина для источников в виде плоскости, линии и точки,'удовлетворяющих уравнению (V2—k2) G (г) = — б (г), имеют вид G1(jt) = e-'^/2A, G2 (р)=г/Со (Ар)/2я, G3 = ke~k,/4iikr.

Интегрируя, перейти от точечного источника к линейному и показать, что

OO

Ie-Itf

или

(Г2 —р2)»/2

OO OO

,—au

Ip-au л

1SZ177г *-J« «-*.<«>•

1 v ' О

Таким же образом перейти от линейного источника к источнику в виде плоскости, для которого

OO

¦ Г /C0 (ftp) р rfp __ Jverhx

J (рЗ_ха)і/2 2k '

X

или

та

J

/Со (сш) и du зхе a

J —1) 12. Показать, что

t/2 2a

00



а/у (х) dv

z Y(n — r— 1)! я

l-v Г

r=0

Л/Л /v\

0.

v=0 ^v

v=o 446

¦

ГЛАВА I). ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ

11.5. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ

Метод Стокса. Если Zv (х) — решение уравнения Бесселя заменить х-іігу (х), то функция у (х) будет удовлетворять уравнению

/+(1--^-). = 0. (11.131)

Для больших X (х V) оно имеет вид

(/1+(/, = 0, (11.132) решениями которого являются

?/t = а0 sin X bQ cos X. (11.133)

Можно улучшить точность (для больших х) заменой постоянных а0 и Ь0 разложениями по отрицательным степе-

oo oo

ням х: а0—> 2 апХ~п, b0 ~> 2 Ьпх~п, это означает, что

n=0 Ji=O

решение можно искать в форме

OO OO

у (х) = 2 ап*~п sin X + 2 bnx~n cos X. (11.134)

n=О n=0

Подставив выражение (11.134) в уравнение (11.131), получим

9 W = . ..Jsinx +

+ (11.135)

Этот процесс можно продолжить и дальше. Существенно заметить, что эти выражения ограничены и приводят к точному результату для v = ± 1/2, ±3/2, ±5/2, . . . Найденные функции представляют собой сферические функции Бесселя (см. разд. 11.6).

Метод Стокса, связанный с отысканием двух постоянных йц и Ь0, позволяет получить общее решение уравне-' ния Бесселя для больших значений переменной х. Однако применение этого решения ограничено тем, что решение оказывается не связанным с функциями Jv (х) и ATv (*). В частности, ничего нельзя сказать заранее об относительном вкладе sin X и cos х. Установить связь с обычными решениями Jv (дг) и Nv (х) или определить фазу можно ti.s. Асймгітотйческие разложения 447

с помощью метода перевала (см. разд. 7.4), выделяя главные члены в асимптотических разложениях Jv (х). и Nv (х).

Разложение интегрального представления Kv (л;). Рассмотрим интегральное представление (см. разд. 11.4)

1/2 00

W=(?)v 5 v >-1/2•

і

(11.136)

Для определенности ограничимся вещественными z, хотя можно доказать справедливость соотношения (11.136) и для —я/2 < arg г < я/2. Необходимо показать, во-первых, что функция Kv в записи (11.136) действительно удовлетворяет уравнению Бесселя мнимого аргумента (11.108), и, во-вто-рых, она имеет правильную нормировку.

1. В том, что функция (11.136) есть решение уравнение Бесселя мнимого аргумента, можно убедиться прямой подстановкой, в результате которой имеем

OO

j IF [е~г* 1)V+1/21 dx - 0; і

в этом соотношении подынтегральная функция записана в виде производной от функции, которая обращается в нуль на обоих концах отрезка интегрирования. В упр. 1 вынесен вопрос о том, включает ли данное решение функцию Iv.

2. Нормировка проверяется подстановкой х = 1 + Hz:

і

_ гс1/2 (2Yr-zI r-i m2 j- 2t Y~i/2 dt _

~~ (v —1/2)! V 2 / Je I Ї'2 ) — -

о

1/9 00

("-137)

о

Эта подстановка приводит к более удобным пределам интегрирования и изолирует отрицательную экспоненциальную ' зависимость е-2. Последний интеграл в (11.137) при 2 = 0 дает (2v — 1)!, тогда с помощью формулы удвоения (см. 448

Г JI А В А 1). ФУНКЦИИ ВЕССЕЛЯ

разд. 10.4)

Iini Kv (<?) — (v— 1)! 2v~iIzy,t V> 0 (11.138)

2-4 о

в согласии со вторым уравнением (11.119), которым определена нормировка функции Kv *•

Для получения асимптотического разложения функции Kv (2) перепишем заново (11.137) (для больших г):

___OO

«'«"/гші^І'- ьір2*.

О

Разложим (14- t/2z)"~i/2 с помощью биномиальной теоремы, тогда

__OO

Предыдущая << 1 .. 111 112 113 114 115 116 < 117 > 118 119 120 121 122 123 .. 185 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed