Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
я
-1 я'2
~ 2-(^rY ( ch (z cos О) Sin2v 0 dO.
я / (v —1/2)! V 2 / I
4. Убедиться, что Kv (*) удовлетворяет рекуррентным соотношениям
/Cv-I (X)-ZCv+! (*) = —у- /Cv (*), /Cv-I (X) + /Cv+i (*) - -2/С; (X)t
5. Проверить, что функцию Kv (х) можно задать соотношением (11.118), откуда следует, что Kv (х) — К-v (*) •
6. Показать, что определитель Вронского для функций Jv (х) и Kv (*) имеет вид Iv (х) K'v (х)— I'v (де) Kv (x) — — l/x.
7. Показать, что для v>—1/2 функцию Kv (z) можно представить как
О
00
111.4. ФУНКЦИИ ПР.ССПЛ5! МНИМОГО АРГУМЕНТА
445
8. Пусть.г = (^2^//2)1/2. Доказать, что
OO
1 2 Г
9. Показать, что функции Jv (*), Nv (лс), Iv (х) и Kv{x) удовлетворяют дифференциальному уравнению четвертого порядка
d* , 2 d3 2v2+l d*
У+— '-TZrV--ZS---7Zo~y~^~
dx* J ' X dxз y . 2v2-fl d . / v4-4v2
je3 dx
I V 4v2 \
—P—1Jyax0-
10. Показать, что -Nq (kr)/4 есть функция Грина для уравнения Гельмгольца в цилиндрических координатах (без осевой или азимутальной зависимости).
11. Функции Грина для источников в виде плоскости, линии и точки,'удовлетворяющих уравнению (V2—k2) G (г) = — б (г), имеют вид G1(jt) = e-'^/2A, G2 (р)=г/Со (Ар)/2я, G3 = ke~k,/4iikr.
Интегрируя, перейти от точечного источника к линейному и показать, что
OO
Ie-Itf
или
(Г2 —р2)»/2
OO OO
,—au
Ip-au л
1SZ177г *-J« «-*.<«>•
1 v ' О
Таким же образом перейти от линейного источника к источнику в виде плоскости, для которого
OO
¦ Г /C0 (ftp) р rfp __ Jverhx
J (рЗ_ха)і/2 2k '
X
или
та
J
/Со (сш) и du зхе a
J —1) 12. Показать, что
t/2 2a
00
а/у (х) dv
z Y(n — r— 1)! я
l-v Г
r=0
Л/Л /v\
0.
v=0 ^v
v=o446
¦
ГЛАВА I). ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
11.5. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
Метод Стокса. Если Zv (х) — решение уравнения Бесселя заменить х-іігу (х), то функция у (х) будет удовлетворять уравнению
/+(1--^-). = 0. (11.131)
Для больших X (х V) оно имеет вид
(/1+(/, = 0, (11.132) решениями которого являются
?/t = а0 sin X bQ cos X. (11.133)
Можно улучшить точность (для больших х) заменой постоянных а0 и Ь0 разложениями по отрицательным степе-
oo oo
ням х: а0—> 2 апХ~п, b0 ~> 2 Ьпх~п, это означает, что
n=0 Ji=O
решение можно искать в форме
OO OO
у (х) = 2 ап*~п sin X + 2 bnx~n cos X. (11.134)
n=О n=0
Подставив выражение (11.134) в уравнение (11.131), получим
9 W = . ..Jsinx +
+ (11.135)
Этот процесс можно продолжить и дальше. Существенно заметить, что эти выражения ограничены и приводят к точному результату для v = ± 1/2, ±3/2, ±5/2, . . . Найденные функции представляют собой сферические функции Бесселя (см. разд. 11.6).
Метод Стокса, связанный с отысканием двух постоянных йц и Ь0, позволяет получить общее решение уравне-' ния Бесселя для больших значений переменной х. Однако применение этого решения ограничено тем, что решение оказывается не связанным с функциями Jv (х) и ATv (*). В частности, ничего нельзя сказать заранее об относительном вкладе sin X и cos х. Установить связь с обычными решениями Jv (дг) и Nv (х) или определить фазу можноti.s. Асймгітотйческие разложения 447
с помощью метода перевала (см. разд. 7.4), выделяя главные члены в асимптотических разложениях Jv (х). и Nv (х).
Разложение интегрального представления Kv (л;). Рассмотрим интегральное представление (см. разд. 11.4)
1/2 00
W=(?)v 5 v >-1/2•
і
(11.136)
Для определенности ограничимся вещественными z, хотя можно доказать справедливость соотношения (11.136) и для —я/2 < arg г < я/2. Необходимо показать, во-первых, что функция Kv в записи (11.136) действительно удовлетворяет уравнению Бесселя мнимого аргумента (11.108), и, во-вто-рых, она имеет правильную нормировку.
1. В том, что функция (11.136) есть решение уравнение Бесселя мнимого аргумента, можно убедиться прямой подстановкой, в результате которой имеем
OO
j IF [е~г* 1)V+1/21 dx - 0; і
в этом соотношении подынтегральная функция записана в виде производной от функции, которая обращается в нуль на обоих концах отрезка интегрирования. В упр. 1 вынесен вопрос о том, включает ли данное решение функцию Iv.
2. Нормировка проверяется подстановкой х = 1 + Hz:
і
_ гс1/2 (2Yr-zI r-i m2 j- 2t Y~i/2 dt _
~~ (v —1/2)! V 2 / Je I Ї'2 ) — -
о
1/9 00
("-137)
о
Эта подстановка приводит к более удобным пределам интегрирования и изолирует отрицательную экспоненциальную ' зависимость е-2. Последний интеграл в (11.137) при 2 = 0 дает (2v — 1)!, тогда с помощью формулы удвоения (см.448
Г JI А В А 1). ФУНКЦИИ ВЕССЕЛЯ
разд. 10.4)
Iini Kv (<?) — (v— 1)! 2v~iIzy,t V> 0 (11.138)
2-4 о
в согласии со вторым уравнением (11.119), которым определена нормировка функции Kv *•
Для получения асимптотического разложения функции Kv (2) перепишем заново (11.137) (для больших г):
___OO
«'«"/гші^І'- ьір2*.
О
Разложим (14- t/2z)"~i/2 с помощью биномиальной теоремы, тогда
__OO