Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Представление функции Kv W рядом получается непосредственно из разложения Н™ (ix). С точностью до первых членов
Kq(x) = — Inx — С + In 2 4 ..
• Kv(X) = 2V_1 (V-I)U-V+...
(11.119)
Функция Бесселя мнимого аргумента Iv связана с обычной функцией Бесселя Jv так же, как гиперболический синус с обычным синусом, поэтому Iv и второе решение Kv иногда называют гипербо- 4 ЛИЧЄСКИМИ функциями Бесселя. рис IJ 6 функции Бес-Ha рис. 11.6 показано поведе- селя мнимого аргумента, ние функций I0t Iu Ко и K1.
Теория диффузии нейтронов. Рассмотрим теорию диффузии тепловых нейтронов. В стационарном случае уравнение непрерывности имеет вид
— Sacp S — 0, (11.120)
где первый член описывает диффузию; второй — характеризует убыль нейтронов за счет поглощения, а третий — источник. Параметр D = Xs/З (1 — 2/ЗЛ); Xs — средняя длина свободного пробега между актами рассеяния; А — атомное число ядра-рассеивателя. Множитель (1—2/3 А) учитывает анизотропию рассеяния в лабораторной системе координат. Нейтронный поток <р равен произведению плотности нейтронов на их среднюю скорость; 2 а —макроскопическое . сечение поглощения, равное произведению вероятности захвата нейтрона одним атомом оа на число атомов в единице объема. Предполагается, что вероятность захвата нейтронов мала по сравнению с вероятностью рассеяния.
О 1 2 X 442
ГЛАїЗЛ Ii- ФУНКЦИИ ПЕСОIiJl
Будем также полагать, что имеется линейный источник нейтронов, помещенный в бесконечную среду, в которой происходит диффузия нейтронов. Совместим этот источник с осью г. Если на единицу длины источника в единицу времени рождается S0 нейтронов, то S = 50б (г), где б (г) — б-функция Дирака. Симметрия задачи предполагает рассмотрение в цилиндрической системе координат. Зависимость от г и 0 отсутствует, поэтому уравнение диффузии имеет вид
^+'f-^Tr*=0 (11-121)
и выполняется всюду, за исключением линии источника (гФ 0). Обозначив k2 = 2>JD, где kr1 — длина диффузии, получим
ф = A1Mto-)+ Oaffo (fr). (11.122)
Коэффициент Qi необходимо положить равным нулю, так как функция I0 (kr) экспоненциально растет при больших kr [см. разложения (11.112) и разд. 11.51, поэтому ф = = Ci2Ko (kr). Поток нейтронов через поверхность do равен DVф•rfo. Постоянная интегрирования а2 определяется из условия, что величина Di умноженная на интеграл от отрицательного градиента нейтронного потока через поверхность некоторого элемента объема, равна числу нейтронов S0f родившихся внутри этого объема. Чтобы не учитывать поглощения, возьмем этот объем достаточно малым (г ->• 0), тогда
S0 = IimDa2 \-VK0(kr).r0rdQ. (11.123)
r-*0 J
Это равенство отражает закон Гаусса в двумерной форме (см. разд. 1.14). Подставив в него разложение функции
2кг
Ко (kr), получим So-Da2Wm— или
r->U г
а2 Z= S о! 2 JiD. (11.124)
Подставляя полученный результат в уравнение (11.122), имеем
fP = -Jrr (foO- (11-125)
Задача о диффузии нейтронов решена. 11.4. ФУНКЦИИ ПР.ССПЛ5! МНИМОГО АРГУМЕНТА
443
Функция Грина. Возвращаясь к содержанию разд. 8.6, мы видим, что в предыдущем примере фактически отыскивалась функция Грина для диффузионного уравнения (11.120). В этом легко убедиться, переписав это уравнение для линейного источника единичной мощности (на единицу длины), который расположен по оси г.
DV2G (kr) — Dk2G (kr) = —6 (г). (11.126)
Интегрируя по некоторому произвольному малому объему, получаем
\ V2G (kr) dv -k2 j G (kr) dv -
= (11.127)
Второй интеграл слева исчезает при г 0. Вычисление первого интеграла в левой части этого равенства можно произвести с помощью теоремы Гаусса, и функция Грина G (kr) будет точно совпадать с предыдущим решением
o(kr)^~Ko(kr). (11.128)
Обобщим данный результат на случай непрерывно распределенных параллельных линейных источников, которые характеризуются радиальным вектором р. Функция Грина для них
tfo(*|r-p|). (11.129)
Результирующий нейтронный поток равен
ф(г) = Jo (г, p)S(p)rfp-
~ ^D j ^o I г — PI) S (р) dp. (11.130)
Здесь интегрирование проводится в плоскости, перпендикулярной линии источников, a S (р) — мощность источника (на единицу длины в одну секунду).
Перечислим характерные особенности функций Бесселя мнимого аргумента, а также соображения, которыми мы руководствовались, введя их в данном разделе: 1) эти функции представляют собой решения часто встречающегося уравнения Бесселя мнимого аргумента; 2) с их помощью решаются специальные физические задачи, одной 444
ГЛАВА П. ФУНКЦИИ БЕССИЛЯ
из которых является диффузия нейтронов; 3) с помощью /Cv (х) записывается функция Грина; 4) функция /Cv (х) позволяет получить удобные асимптотические представления (см. разд. 11.5).
Упражнения
1. Показать, что в параболических координатах уравнение Лапласа распадается на уравнение гармонического осциллятора, уравнение Бесселя и уравнение Бесселя мнимого аргумента.
СО
2. Показать, что М*НП—также производя-
П-S-CO
щая функция для функции Бесселя мнимого аргумента 1п(х)-
3. Показать, что для v> —1/2 функцию Zv(дг) можно представить как
