Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
2. Показать, что Yv (х) Zv (*) — Y'v (х) Zv (je) — Av/x, где Y и Z—
два решения уравнения Бесселя; Av может зависеть только от v и не зависит от*.
3. Проверить формулы для определителей Вронского (11.74) — (11.77).
4. Найти нулевые компоненты электрического и магнитного полей в цилиндрическом волноводе радиусом го или TMoi—поперечной магнитной волны (Hz-Hr-Eo-O)i и TEoi-поперечной электрической волны (Ez-E1- = Hq = O). Индексы 01 указывают, что продольные компоненты E2 или Hz содержат функцию У0> а граничное условие удовлетворяется первыми нулями функций J0 и Jq.
5. Для данного типа колебания максимальная частота, которая будет пропускаться цилиндрическим волноводом, равна Хмин=сДс, где lKc определяется из граничных условий
М"Тг)=0 для tm^' МЛГН для 1Епщ'
28—1257 434
Г JI А В А 1). ФУНКЦИИ ВЕССЕЛЯ
Индекс її указывает порядок функции Бесселя, а т— порядковый помер пуля. Определить пороговую длину волны Xc для трех типов 'IM и ТЕ, которые характеризуются наибольшим значением пороговой длины волны. Объяснить полученные результаты, исходя из графиков функций Jо, J1 и J2 рис. 11.1).
6. Проверить интегральное представление для функции Неймана нулевого порядка
" со
Л'о (г) = -—— ( cos (z ch <) dt. п і
7. Показать, что низшая частота колебаний кольцевой мембраны с радиусами г і и T2 (^i > г2) определяется наименьшим корнем уравнения
Л, (Av4) ,V0 (А-/-.)-Уо (Av2) Nli (Itrl) --(),
где k = (uju~2njX (см. разд. 11.1).
8. Показать, что N^n (дг) = (— l)n N1, (дс).
9. Показать, чго
dJv (х)
dv
11 л/ (у\ адгу И
v=0~~2
-JL J0 (Л-). v=0 Z
11.3, ФУНКЦИИ ХАНКЕЛЯ
Определения. Используем рассмотренные функции Неймана для определения функций Ханкеля Hvl) (х) и Н™ (х):
H{P(x)=^Jv(x) + iNv(x)i (11.90)
H™(x) = J*v(x)~iNv(x). (11.91)
Эти соотношения представляют собой точную аналогию формулы
e±i0 = cosO±fsine. (11.92)
Эта аналогия будет заметна еще отчетливее при изучении асимптотических форм (см. разд. 11.5).
Комбинируя уравнения (11.5) и (11.63), можно получить разложение в ряд для функций (х) и Н™ (х). Часто представляет интерес только первый член:
WJ0W = і |-1пл:-|-1 +
//«> (х) = — і In X -j-1 — і (С — In 2) -}-*••• j
(11.93)
(11.94) 11.3. функции ханкеля
435
Функции Ханкеля можно записать как линейные комбинации (с постоянными коэффициентами) функции J4 и Nvj поэтому они удовлетворяют рекуррентным соотношениям (11.10) и (11.12):
H^1(X) A-Hv^l(X) ^ ^ Hv(x), (11.95)
Я лм (х) - Яу+1 W = 2 Hv (je), (11.96)
которые выполняются как для Hvy(x), так и для НУ(х).
Можно получить и различные формы определителей Вронского:
//;2'//?.! - НУН$I i - Alinx1 (11.97)
Jv^Hy-JvHtJLl = Winx, (11.98)
JvHiJLl - Jv-Jlf = 2Них. (11.99)
Пример. Цилиндрическая бегущая волна. Рассмотрим распространение волн в плоскости, эта задача аналогична колебанию круглой мембраны (см. разд. 11.1). Теперь будем полагать, что волны рождаются в TtfiKe z~0 и распространяются п ряз-ные стороны, причем стоячая волна заменяется на бегущую. Дифференциальное уравнение (11.53) остается тем же самым, но граничные условия изменяются. Потребуем, чтобы решение, описывающее расходящуюся волну па больших расстояниях, имело пид V-е7*,п~м1\ где k— волновое число. Заданный вид решения предполагает отсутствие азимутальной зависимости, т. е. отсутствие момента количества движения или m — 0. В разд. 11.5 показано, что функция H^ (kr) асимптотически ведет себя как ei,u'. С учетом этого обстоятельства и граиичного условия на бесконечности решение записывается как
U (г, t) = H^(kr)t-ifai. (11.100)
Оно расходится ири г—>0, что вполне естественно при наличии источника в начале координат.
Выбор плоской задачи для иллюстрации функций Ханкеля не случаен. Функция Бесселя может возникнуть при решении самых различных задач, например в задаче, решение которой связано с разделением переменных в конических координатах, однако наиболее часто она появляется в радиальной части уравнения Гельмгольца при разделении переменных в цилиндрических или сферических координатах. Если бы решалась задача в сферических координатах (сферические волны), нам пришлось бы иметь дело с индексом п 1/2, где п — целое. Этот случай, приводящий к сферическим функциям Бесселя, обсужден в разд. 11.6.
28* 43O
. і: Л A b A ii. ФУНКЦИИ BFXCKJifl
Представление функций Ханкеля контурным интегралом. Интегральное представление (интеграл Шлефли)
W-=157 §^21"-''" С'-101)
легко проверяется для целых V — п (учитывая, что в числителе стоит производящая функция (11.1), интегрирование ведется с обходом начала координат). При нецелом v подынтегральная функция становится неоднозначной,
Рис. 11.4. Контуры интегрирования: для функции Бесселя — С; для функции Ханкеля — Ci н Ci.
и в комплексной плоскости необходимо сделать разрез. Выбрав линию разреза по отрицательной вещественной полуоси и контур С (рис. 11.4), можно распространить интегральное представление (11.101) и на нецелые v, Подставим (11.101) в дифференциальное уравнение Бесселя, тогда подынтегральная функция может быть представлена полным дифференциалом, который обращается в нуль при t оое±ія.
