Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Рекуррентные формулы. Подставляя выражение (11.60) для Nv (х) (v — нецелое) или (11.61), если V — целое, в рекуррентные соотношения (11.10) и (11.12) для Jn (дг), мы убеждаемся, что Nv (х) удовлетворяет им. Это еще раз подтверждает, что Nn (*) — решение. Причем существенно подчеркнуть, что обратное не обязательно верно. В разд. 11.4 мы рассмотрим пример, доказывающий это.
* Этот результат справедлив как для целых, так и нецелых значений индекса v. 4 ЗО
r Jl А В А II. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
Определитель Вронского. Определитель Вронского для решений уравнения Бссселя имеет вид (см. разд. 8.5)
Uv (х) v'v (х) — My M ^v W -- Лvlx, (11.69)
где Av — параметр, постоянный в том смысле, что не зависит от Xt определен функциями Бесселя Uv (х) и Vv (х).
Остановимся на специальном случае
uv (х) = Jv (х), Vv (х) = J-V (х), (11.70)
JvJLv-JvJ^v--AvIx. (11-71)
Поскольку параметр Av не зависит от х, его можно определить в любой удобной точке, например, в точке X — 0. Используя первые члены'разложений (11.5) и (И.6), получим
1 / 2vx-v ,, vxv"1 г -угу-*"1
2v ' (-v)! ' jv^ 2m ' (-v)! •
(11.72)
Подставляя (11.72) в (11.69), имеем
Jv (X) Jiv (X) - Jv (X) J.v (X) = = ^L , (1 ] .73) І і.2. ФУНКЦИИ ІІГіЙМЛНЛ
431
что с учетом формулы (10.32) дает v! ( — v)!=nv/sin vn. Подчеркнем, что параметр Av равен нулю, если v — целое; впрочем, это естественно, поскольку отличие определителя Вронского от нуля есть условие независимости двух решений, а из уравнения (11.73) ясно, что Jn и /_п — линейно зависимые решения.
Используя рекуррентные соотношения, легко получить другие рекуррентные формулы. Приведем некоторые из них:
yvJ-v+i + J-vJv-i = 2 sin vji/я*, (11.74)
J4J-V-I + J-\)J v+i = — 2 sin \n/nx, (11.75)
JvNv-J'vNv = 2/nx, (11.76)
JvNv4-JvhNv= —2/tlx. (11.77)
Цилиндрические волноводы. Одно из применений функций Бесселя и Неймана связано с распространением электромагнитных волн в цилиндрических волноводах, для которых из уравнений Максвелла получаем
it-тяг=о- <п-78>
Учитывая симметрию, задачу рассмотрим в цилиндрических координатах. Решение будем искать в виде
Ez = и (г, 9) Hz = 0, (ТМ—поперечная
магнитная волна). (11.79)
Пусть ось волновода совпадает с осью цилиндрических координат. Параметр Xg равен эффективной длине волны вдоль волновода, этот параметр учитывает зигзагообраз-ность распространения волны.
Подставим (11.79) в уравнения (11.78)
д_ дг
где Xc — другая эффективная длина волны, связанная с длиной волны в свободном пространстве X0 = 2яс/о) и Xg соотношением
-Т + 4- = ТТ- (11-81)
Xo Xg ^7
Для разделения переменных положим
и (г, Q) = R (г) 6(0), (11.82)
432
ГЛАВА П. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
тогда R (г) должна удовлетворять уравнению Бесселя
1 А
г ' dr
+ Nn () (а2 cos nQ - I- b2 sin яв). (11.84)
Полное решение уравнения (11.80) запишется в виде
и (г, 0) .-= Jn (-^-) (Ci1 cos/20-f/J1Sin/г0)-|-
2 яг
к
Синусы и косинусы появились в этом решении благодаря функции в (0); из требования однозначности 0 (0) следует, что п — целое.
Исходя из граничного условия для поперечной магнитной волны, потребуем, чтобы и — Ez обращалась в нуль на проводящей поверхности, причем всюду Ez < оо (в этом случае из решения исключается функция Неймана Nn (х)). Тогда
Ег (г — г0) ----- Jn (-^p-) (яі cos /20 -f bt sin /10) = 0 для всех 0.
(11.85)
Это значит, что Xc должна быть такой, чтобы отношение 2Itr0IXc оказалось корнем функции Jn.
Если нас интересует поперечная электрическая волна ТЕ, следует записать
Ez — О, Я,-«(г,0)еі[м{-2яг/У
с граничным условием Неймана
ди
W
_ ди
T=T1 ~ дг
Г=Г2
0. (11.86)
Если по центру волновода проходит проводник, функцию Неймана исключать нельзя, и, вообще говоря, она необходима, чтобы удовлетворить граничным условиям как на внутренней (г = T1), так и на наружной поверхности (г ~ r2). В этом случае имеем для всех 0
Jn ( j (Q1 COS /20 + bi sin /20) 4-+ Mn () (O2 cos /г0 4- bz sin /20) = 0, (11.87) 11.2. ФУНКЦИИ НЕЙМАНА
433
Записанное равенство означает, что можно положить CiJbi — сI-Jb2, тогда граничное условие на внутренней поверхности (г — Гі) сводится к выражению
(IlJnVnrJle) I Ib2Nn (2яг4/Хс) -- 0. (11.88)
Аналогично для наружной поверхности (г — г2):
OiJn (2ш-2Ас) + CtzNn (2лr2/Xc) = 0. (11.89)
Уравнения (11.88) и (11.89) необходимо теперь разрешить относительно Xc и отношения CtiIa2.
Заканчивая рассмотрение функции Неймана Nv (х), отметим, что: 1) функция Неймана представляет собой второе независимое решение уравнения Бесселя, которое входит составной частью в общее решение; 2) она встречается в специальных физических задачах; 3) эта функция приводит к функции Грина для уравнения Бесселя (см. разд. 11.4); 4) с помощью функции Неймана определяются две функции Ханкеля (см. разд. 11.3).
Упражнения
1. Дифференцированием выражения, которым определена функция Неймана, проверить правильность разложений
N0 (х) -S> — (1 п ^+С— 1 п 2),
JIr
(Учтены только основные члены.)
