Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
і
(а2 - b2) ^ uvdx = x (iiv' - ufv) |J. (11.56) о
. Все функции J11 (х) конечны в нуле *, поэтому правая часть уравнения обращается в нуль при х = 0. Правая часть уравнения обратится в нуль и при х ~ 1, если в качестве параметров а я b взять корни функции Jn (х),
Jnia)^ Jn (Ь)- 0. (11.57)
Тогда для а Ф b
і
f Jn (ах) Jn (bx) xdx = 0. (11.58)
<'
о
Обратим внимание на весовой множитель х. Если положить a = b, то получится нормировочный интеграл
і . /
J [JB (ах)I2 X dx = і [-J^ JJ(ax) |х==1]2. (11.59)
_1 yV
* В этом легко убедиться, обратившись к ряду (11.5).пл. функций бесселя первого рода
423
Предлагаем читателю самостоятельно доказать последнее равенство.
Функции Бесселя нецелого порядка. Читатель, вероятно, заметит, что производящая функция определяет функции Бесселя только целого порядка J0t Jit J2 и т. д. В этом существенная ограниченность определения функций Бесселя через производящую функцию. Однако можно легко определить функцию Бесселя первого рода Jv (*) для нецелых v, если использовать для этой цели ряд (11.6).
Рекуррентные соотношения проверяются просто подстановкой в них Jv (*) в виде ряда (см. ниже упр. 1). Из этих соотношений следует уравнение Бесселя. Действительно, если V — нецелое, то возможно существенное упрощение. Известно, что функции Jv и независимы, так как они не связаны соотношением вида (1Ї.8). С другой стороны, для целых V = п нам необходимо другое независимое решение. Отысканию этого второго решения и исследованию его свойств будет посвящен разд. 11.2.
Упражнения
OO
(_1)S / X \ V-I 2в
1. Дифференцируя функцию Jv (X) - 2j Sl (s-t-v)l 1 2/
8=0
показать, что она удовлетворяет двум рекуррентным соотношениям
2v
JV-I (*) + Vi (*) = ¦V JV (*). Vt (*) — Vі W = (x)
Л
и дифференциальному уравнению Бесселя
x*J"v (х) + xJ'x (х) -f (*2_ V2) Jv (х) = 0.
2. Рассмотрев произведение двух производящих функций 0 О» показать, что
' I = I^o Wla+ 2 [Z1(X)P 4 2 [/2(*)]Н...
и, следовательно, |Z0(x)|<I, а | Jn (х) |< i/~\/2, ti= 1, 2, 3, ...
3. Используя производящую функцию g(x, t) = g(u-\-vt t) — = 0» показать, что
со
jn(u-irv)=: 2 js [u) jns(v)t
S=-CX)
со
Jо {и +о) = J0 (м) J0 (о) + 2 Y1 Js(U) J(V).
8— І
Эти равенства иллюстрируют теэремы сложения функций Бесселя.424
ГЛАВА II. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
4. Используя одну ЛИШЬ производящую функцию eWW 1ZO-
со
= 2 ^n ^ ^n и не пРименяя представление Jn (л;) рядом, показать,
П——СО
что функция Jn (je) четная или нечетная в зависимости от того, четно или нечетно л, т. е. Jn (х) = (—l)n Jn (—х).
5. Получить формулы для производных
хЧп Wl = JCnV1 (х), ~ [X-nJn (X)] = -*-Vn+1 (X),
умножая функцию Бесселя Jn (х), представленную рядом, на хп и х~п и затем дифференцируя это произведение.
6. Доказать, что между двумя соседними корнями функции Jn (х) расположен один и только один корень функции Jn+i (х). Указание. Использовать уравнения (11.15) и (11.17).
OO СО OO
7. Вычислить интегралы ^ Ji (х) dx, ^ J2 (х) х-1 dx, ^Лі+і (*) x~ndx%
OO О
предполагая, что при х->оо Jn(x) стремится к нулю, как х-1//2. Ответ: 1, 1/2, l/2rtn!.
OO OO
8. Доказать, что J Jn(x)dx= J Jn+2(x)dx, п = О, 1, 2, ...
и О
9. Показать, что дифференциальные уравнения
у' + ху = 0, у"2пху — 0, ху"-\-{2п-\-\)у'-{-ху^0
представляют собой различные формы уравнения Бесселя, и решить их.
10. Доказать, что
я/2 я/2
j /0 (х cos 0) cos О dO, -—^0s Х = j Ji {х cos 0) dQ. о о
Указание. Воспользоваться определенным интегралом.
11. Показать, что
1 OO
jo{x)=±\ J^dtt jo{x)=l.\^LdL
It J UW It J Vf2_l
Or і v
12. Прямым дифференцированием и подстановкой показать, что
JAx)=^§*(x/2){t-l/t)rv-ldt (1)
С
или эквивалентная ей функция
M=S? (тГ$'Й (2)П.I. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ ПЕРВОГО РОДА
425
удовлетворяет, уравнению Бесселя. (Контур С охватывает начало координат и всю отрицательную полуось х\ обход следует совершать справа налево. Линия разреза совпадает с отрицательной полуосью л:.) Показать, что интеграл (1) можно привести к виду
2 я 2я
Jn(X)= J- I e<(*8ln0-n0)rfO = ^l Г et(ACOS0 + n9) dQ (3) о о
13. Контур С из упр. 12 деформирован следующим образом:
от —оо до —1, единичный круг от е~гл до егл и, наконец, от — 1 до — оо. Показать, что
П оо
Jx(X)= 1 j COS(V0-XSin0)d0-^ j e(-ve-*sh9)d0t о о
Это—интеграл Бесселя. Указание. При отрицательных значениях
переменной интегрирования и использовать замену U = Ie^in.
14. Используя тригонометрическую форму записи, убедиться, что
2Я
MBlnQdd/
о
15. Показать, что рекуррентное соотношение J'n (jc) —
= ^ [A1-I (*)—Jn+i Wl получается прямым дифференцированием из формулы (11.29).
СО
16. Показать, что J0 (R)= JJ Jn (г4) Jn (г2) еІПф, где R* = г* +
Il= — OO
-\-r\~2г^2 cos ф; ф—угол между векторами rt и r2; ? — угол между R и rj.
Полученный результат можно обобщить:
OO
Jm (R)ZimV= 2 ZnWUN^1
Tl=-OO
оо
H%(R)eimt= 2 fa)//!i% Ы e<n* Ir2OIr1Cos(I)I.