Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
4яєо
Вычислить V-E.
1.8. РОТОР VX
Можно определить операцию векторного умножения V на вектор формулой
а
д_ ду
Vx) =
dx
к
а
Vz) +
І j
_а_ _а_ _
дх ду dz
Vx V, Vz
•J\ I
(1.64)
Полученное выражение называется ротором вектора V. При раскрытии определителя или при любых других операциях с V необходимо учитывать его дифференциальную38
ГЛАВА 1. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
природу. Специально подчеркнем, что произведение VxV определяется как новый векторный дифференциальный оператор. В общем случае он, конечно, не равен VxV*. Если V векторно умножается на произведение скаляра и вектора, можно записать
Vx (/V) t=1 [A (fvz) - -IrIfVv)] =
1V ду ' dy Vz І дг дг Vz) ~
¦ fv X V \х-г (Vf) X V \х. (1.65)
Делая циклическую перестановку координат, легко получить у- и 2-компоненты. Легко убедиться, что
\ ^
л ^ V X (fV)=/V X V+(V/) X v. (1.66)
Полученное выражение есть аналог выражения (1.63).
f Пример. Вычислить Vxrf (г). С помощью формулы (1.66) имеем
, . Vxr/W=/(r) Vxr+[V/ (r)]xr.
Г Во-первых,
і j k
д д д
Vxr=
дх ду dz X у Z
;0.
Во-вторых, пользуясь равенством Vf (r)—To(dffdr) (см. пример из разд. 1.6), получаем
VXr/ (A) = ^r0Xr-O. Векторное произведение равно нулю, так как т—тог и г<)ХГо=0.
Название ротор возникло в связи с тем, что VxV описывает вращение векторного поля V в точке, в которой вычисляется ротор. Пусть имеется твердое тело в плоскости Xy1 вращающееся вокруг оси z с угловой скоростью со. Линейная скорость V в точке, которая задана радиусом-векто-
* Точно так же, если А,—дифференциальный оператор, то совсем не обязательно, чтобы А X A = O. Например, в квантовой мёхйнике определяется оператор момента количества движения t-=^ifejr X V),: для которого L x L = ihh.1.8. РОТОР VX
39
ром г, равна
v=o>xr. (1.67) Чтобы определить Vxr, рассмотрим
V X V = V X (ю X г). (1.68)
Перегруппировав члены в уравнении (1.50) в соответствии с операторной природой вектора V, получим
VX(o)X r) = V.r(o-V.(or. (1.69)
Здесь V скалярно умножается на первый вектор, но как дифференциальный оператор он действует на оба вектора, действительно,
V X (ю X г) = <oV.r + r-V«o — rV.<o — ю- Vr. (1.70)
При постоянной со второй и третий члены в уравнении (1.70) исчезают. Далее, как известно
V-r = 3, (1.71)
поэтому
д д &. Vr = о* (ix + )у+kz) + 0? (ix + ]у + kz) +
+ ®z ~dz ^x + ^ + k2)= i(ox + + ko)z = o). (1.72)
Подставляя (1.71) и (1.72) в (1.70), получаем
Vxv = Vx(o>xr) = 2u>, (1.73)
т. е. ротор линейной скорости твердого тела равен удвоенной угловой скорости. Всякий раз, когда ротор вектора V равен нулю
VxV = O, (1.7t)
вектор V называют безвихревым.
Наиболее важные физические примеры безвихревых векторов дают гравитационные и электростатические силы. В каждом из этих случаев
V = C-^- = C-, (1.75)
где С — постоянная; г0 — единичный вектор, направленный вдоль радиуса-вектора. Для закона всемирного тяготения Ньютона (в случае гравитационных сил) С = —Gmim2t для закона Кулона С — дф^^о (в единицах МКСА).40
ГЛАВА 1. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Разлагая на декартовы компоненты, можно убедиться, что V, заданный в виде (1.75) ^ безвихревой. Иной подход к ротору дан в гл. 2, в которой он выражен в сферических координатах.
Упражнения
1. Показать, что вектор uXv соленоидален, если и и v —безвихревые векторы.
2. Показать, что вектор Axr соленоидален, если А—безвихревой вектор. \
3. Поворотом координат показать, что компоненты ротора подчиняются закону векторного преобразования. Замечание. Воспользоваться направляющими косинусами из уравнения (1.41).
4. Убедиться, что ротор VxV перпендикулярен к вектору V, если V^iV3c (*, у)+ )Уу (*, у) и VXV ф 0.
5. В квантовой механике операторы момента количества движения определены соотношениями
Lx = -ih (»•!¦-*?) . Lt=-O, (г-jL-x-IL.) ,
Показать, что LxLy— LyLx-IhLz и, следовательно, LxL = <'&L>.
6. Проверить векторные тождества
V (A-B)-(B-V) A-f-(A-V) B + Bx(VxA) + Ax(V X В),
Vx(AxB) = (B-V)A-(A-V) В —B (V-A) +A(V-B).
1.9. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ОПЕРАТОРА V
С помощью введенных понятий градиента, дивергенции и ротора можно получить вектор, скаляр и комбинацию векторов. Действуя на каждую из введенных величин оператором Vf получаем выражения вида V-'Vcp, VxVqp, VV-V, V. V х V, V х (V х V). Все они содержат вторые производные и часто используются в дифференциальных уравнениях второго порядка в математической физике.
Первое из них, V-Vtpj дивергенция градиента, называется лапласианом * tp. Имеем
* Лапласиан часто обозначают символом Д.— Прим. перев*1.9. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ОПЕРАТОРА v 41
В случае, когда <р представляет собой электростатический потенциал, получаем уравнение Лапласа: V-Vcp = O. Комбинацию V-V обозначают V2.
Пример. Вычислить V-Vg (г).
Учитывая результаты, полученные в примерах из разд. 1.6 и 1.7, запишем
XT TTrrfA-Xf г d?-2 d&JLd8
где /(г)—функция из примера к разд. XJ имеет вид (\/r)dg/dr. Если g{f) —т0 равенство сводится к