Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арфкен Г. -> "Математические методы в физике" -> 11

Математические методы в физике - Арфкен Г.

Арфкен Г. Математические методы в физике — М.: Атомиздат, 1970. — 712 c.
Скачать (прямая ссылка): matematmetodivfizike1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 185 >> Следующая


4яєо

Вычислить V-E.

1.8. РОТОР VX

Можно определить операцию векторного умножения V на вектор формулой

а



д_ ду

Vx) =

dx

к

а

Vz) +

І j

_а_ _а_ _

дх ду dz

Vx V, Vz

•J\ I

(1.64)

Полученное выражение называется ротором вектора V. При раскрытии определителя или при любых других операциях с V необходимо учитывать его дифференциальную 38

ГЛАВА 1. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ

природу. Специально подчеркнем, что произведение VxV определяется как новый векторный дифференциальный оператор. В общем случае он, конечно, не равен VxV*. Если V векторно умножается на произведение скаляра и вектора, можно записать

Vx (/V) t=1 [A (fvz) - -IrIfVv)] =

1V ду ' dy Vz І дг дг Vz) ~

¦ fv X V \х-г (Vf) X V \х. (1.65)

Делая циклическую перестановку координат, легко получить у- и 2-компоненты. Легко убедиться, что

\ ^

л ^ V X (fV)=/V X V+(V/) X v. (1.66)

Полученное выражение есть аналог выражения (1.63).

f Пример. Вычислить Vxrf (г). С помощью формулы (1.66) имеем

, . Vxr/W=/(r) Vxr+[V/ (r)]xr.

Г Во-первых,

і j k

д д д

Vxr=

дх ду dz X у Z

;0.

Во-вторых, пользуясь равенством Vf (r)—To(dffdr) (см. пример из разд. 1.6), получаем

VXr/ (A) = ^r0Xr-O. Векторное произведение равно нулю, так как т—тог и г<)ХГо=0.

Название ротор возникло в связи с тем, что VxV описывает вращение векторного поля V в точке, в которой вычисляется ротор. Пусть имеется твердое тело в плоскости Xy1 вращающееся вокруг оси z с угловой скоростью со. Линейная скорость V в точке, которая задана радиусом-векто-

* Точно так же, если А,—дифференциальный оператор, то совсем не обязательно, чтобы А X A = O. Например, в квантовой мёхйнике определяется оператор момента количества движения t-=^ifejr X V),: для которого L x L = ihh. 1.8. РОТОР VX

39

ром г, равна

v=o>xr. (1.67) Чтобы определить Vxr, рассмотрим

V X V = V X (ю X г). (1.68)

Перегруппировав члены в уравнении (1.50) в соответствии с операторной природой вектора V, получим

VX(o)X r) = V.r(o-V.(or. (1.69)

Здесь V скалярно умножается на первый вектор, но как дифференциальный оператор он действует на оба вектора, действительно,

V X (ю X г) = <oV.r + r-V«o — rV.<o — ю- Vr. (1.70)

При постоянной со второй и третий члены в уравнении (1.70) исчезают. Далее, как известно

V-r = 3, (1.71)

поэтому

д д &. Vr = о* (ix + )у+kz) + 0? (ix + ]у + kz) +

+ ®z ~dz ^x + ^ + k2)= i(ox + + ko)z = o). (1.72)

Подставляя (1.71) и (1.72) в (1.70), получаем

Vxv = Vx(o>xr) = 2u>, (1.73)

т. е. ротор линейной скорости твердого тела равен удвоенной угловой скорости. Всякий раз, когда ротор вектора V равен нулю

VxV = O, (1.7t)

вектор V называют безвихревым.

Наиболее важные физические примеры безвихревых векторов дают гравитационные и электростатические силы. В каждом из этих случаев

V = C-^- = C-, (1.75)

где С — постоянная; г0 — единичный вектор, направленный вдоль радиуса-вектора. Для закона всемирного тяготения Ньютона (в случае гравитационных сил) С = —Gmim2t для закона Кулона С — дф^^о (в единицах МКСА). 40

ГЛАВА 1. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ

Разлагая на декартовы компоненты, можно убедиться, что V, заданный в виде (1.75) ^ безвихревой. Иной подход к ротору дан в гл. 2, в которой он выражен в сферических координатах.

Упражнения

1. Показать, что вектор uXv соленоидален, если и и v —безвихревые векторы.

2. Показать, что вектор Axr соленоидален, если А—безвихревой вектор. \

3. Поворотом координат показать, что компоненты ротора подчиняются закону векторного преобразования. Замечание. Воспользоваться направляющими косинусами из уравнения (1.41).

4. Убедиться, что ротор VxV перпендикулярен к вектору V, если V^iV3c (*, у)+ )Уу (*, у) и VXV ф 0.

5. В квантовой механике операторы момента количества движения определены соотношениями

Lx = -ih (»•!¦-*?) . Lt=-O, (г-jL-x-IL.) ,

Показать, что LxLy— LyLx-IhLz и, следовательно, LxL = <'&L>.

6. Проверить векторные тождества

V (A-B)-(B-V) A-f-(A-V) B + Bx(VxA) + Ax(V X В),

Vx(AxB) = (B-V)A-(A-V) В —B (V-A) +A(V-B).

1.9. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ОПЕРАТОРА V

С помощью введенных понятий градиента, дивергенции и ротора можно получить вектор, скаляр и комбинацию векторов. Действуя на каждую из введенных величин оператором Vf получаем выражения вида V-'Vcp, VxVqp, VV-V, V. V х V, V х (V х V). Все они содержат вторые производные и часто используются в дифференциальных уравнениях второго порядка в математической физике.

Первое из них, V-Vtpj дивергенция градиента, называется лапласианом * tp. Имеем

* Лапласиан часто обозначают символом Д.— Прим. перев* 1.9. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ОПЕРАТОРА v 41

В случае, когда <р представляет собой электростатический потенциал, получаем уравнение Лапласа: V-Vcp = O. Комбинацию V-V обозначают V2.

Пример. Вычислить V-Vg (г).

Учитывая результаты, полученные в примерах из разд. 1.6 и 1.7, запишем

XT TTrrfA-Xf г d?-2 d&JLd8

где /(г)—функция из примера к разд. XJ имеет вид (\/r)dg/dr. Если g{f) —т0 равенство сводится к
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 185 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed