Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 11.1. Графики функций Бесселя J0(X)t J1(X)
и J2(X).
Следовательно, можно считать, что ряд начинается с S = п. Заменив S на s-f-rc, получим
откуда немедленно следует, что функции Jn(X) и J-n(X) связаны друг с другом:
J_n(x) = (— \)п Jn(x)t л —целое. (IbB)
Ряды (11.5) и (11.6) можно использовать и при нецелых п для определения соответствующих функций Бесселя Jn (л')'и (х) (см. упр. 1). На рис. 11.1 показано поведение функции Бесселя.
Рекуррентные соотношения. Рекуррентные соотношения для функции Jn (х) и ее производных можно получить непосредственно из разложения (11.5), но удобнее вое- ] пользоваться производящей функцией g (х, t), Дифферен-
1,0
'P X
OO
(11.7) Ь11.1. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ ПЕРВОГО РОДА
415
цируя (11.1) по t, получаем
OO
-STе(*' = 2 nJn(x)("-\
П— — ОЭ
(11.9)
Подставив в соотношение (11.9) разложение экспоненты (11.2) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях t *, имеем рекуррентное соотношение
Jn4 (*)¦+Jn-H (X) = ^Jn (X). (11.10)
Теперь, зная, например, J0 и Ji, можно найти J2 (или любую функцию Jn целого порядка). Продифференцируем (11.1) по х:
со
0-у ('-т)еС*/,Х1"1/'>= S ^W*"- (11.11)
П=—оо
і
Снова заменив производящую функцию разложением (11.2) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях t, получим еще одно рекуррентное соотношение
Jn4(x)-Jn+l(x) = 2Jrn(x). (11.12)
В частности
Jf0(X)=-Ji(X). (11.13)
Сложим уравнения (11.10) и (11.12), а результат поделим пополам:
Jn-i(x) = -j-Jn(x) + Jk(x). (11.14)
Умножим на хп и перегруппируем члены:
[XnJn (X)J = XnJn4(X). (11.15)
Вычтем уравнение (11.12) из (11.10), а результат поделим пополам; окончательно
Jnn (х) = Y Jn (X) ~~Jn (xh (11.16)
* Это возможно благодаря единственности ряда (см. разд. 5.7 И 6.4).416
Г Jl А В А 11. ФУНКЦИИ БKCCEJlЯ
Умножив на х~п и произведя соответствующую перегруппировку, будем иметь
^lx-nJn(X))= -x-nJn+t (X). (11.17)
Дифференциальное уравнение Бесселя. Предположим, что имеется набор функций Zv (х), которые удовлетворяют основным рекуррентным соотношениям (11.10) и (11.12), при этом V не обязательно заданы в виде ряда (11.5). Уравнение (11.14) можно переписать так (n->v):
*Z;(x) = xZv_i(x)-vZv(x). (11.18) 1
Продифференцируем его по х:
xZ"v + (v + \)Z'v-xZ'v-1 Zvm = 0. (U. 19)
Умножим далее это уравнение на х, а затем вычтем из него уравнение (11.18), умноженное предварительно на v:
x2Z; 4 xZ'v - V2Zv + (v- 1) xZv-j - x2Z;_і = 0. (11.20)
Перепишем (11.16), заменив в нем п на v— 1:
xZ;_ і = (v — 1) Zv_j — xZv. (11.21)
Используя соотношение (11.21) для нахождения Zv_t и Zi_i из (11.20), окончательно получим
x2Z;+xZ'y, + (X2-V2) Zv = O. (11.22)
Это и есть уравнение Бесселя. Очевидно, можно утверждать, что любые функции Zv (х), которые удовлетворяют рекуррентным соотношениям (11.10) и (11.12), (11.14) и (11.16) или (11.15) и (11.17), удовлетворяют уравнению Бесселя, иначе говоря, неизвестные функции Zv являются функциями Бесселя. В частности, мы убедились, что функции Jn (х), определенные с помощью производящей функции, также удовлетворяют уравнению Бесселя.
Интегральное представление. Особенно, удобно пользо-,4 ваться функциями Бесселя, если представить их в инте-' гральной форме. Вернемся к производящей функции (IIjI)'' и произведем замену t — ei0:
ei*sin 0 = J0 (X) + 2 [/а (х) cos 20 + J4 (х) cos 40 + ... ] +
+ 2і [ Ji (X) sin 0 + J3 (х) sin 30 + ... ]. (11.23);)11.1. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ ПЕРВОГО РОДА
417
Здесь учтено, что
J1 (х) eie 4 J1 (JC) Є-І0 = 2Ui (х) sin 0,
Ji (X) e2ie -ь J2 w е-2іе = 2J2 (*) cos 20, ...
В результате, приравняв соответственно реальную и мнимую части, получим
(11.24)
OO
cos (х sin 0) = J0 (*) 4- 2 S JznW cos (2^0),
п—і
1
OO
sin(*sin0) = 2 2 Jto-I (X) sin [(2/1-1)0].
n=i
(11.25)
Принимая во внимание свойства ортогональности синуса
и косинуса*
я я
j cos л0 cos m9 cf0 = у 6nm» [ sin «0 sin m0 cf0 = у блт,
(11.26)
где n и m — натуральные числа (нуль исключается)**, получаем
J cos sin0) COSп0 ^e = I Jn (11,27)
1 Г f Jn(X)1 п-четное,
нечетное,
я
- f sin(xsin9)sin/i0d0 = J0' «-четное, (J "j і Jn (х), л —нечетное.
Если сложить эти два уравнения, то
я
Jn (*) = JL j [cos (X sin 0) cos /10 4 sin (x sin 0) sin /10] dQ =
о
я
, =4" \ COS («0-JC sin 0) rfo, /1-0, 1, 2, 3,... (11.29)
3» J
*Они являются собственными функциями самосопряженного уравнения (уравнение линейного осциллятора) и удовлетворяют соответствующим граничным условиям {см. разд. 9.2 и 14.1). ** Условие (11.26) выполняется, когда либо п = 0, либо т — О, ; однако одновременное равенство нулю исключается.
; 27—1257
ач if418 Г Jl А В Л П. ФУНКЦИИ BF.CCFJia
Как частный случай
л
J0 (х) - ~ J COS (JC sin 0) с/0. (11.30)
о
Интегральное представление (11.29) можно получить, применяя {контурное интегрирование (см. ниже упр. 13). Нужно заметить, что наряду с полученным существует