Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арфкен Г. -> "Математические методы в физике" -> 109

Математические методы в физике - Арфкен Г.

Арфкен Г. Математические методы в физике — М.: Атомиздат, 1970. — 712 c.
Скачать (прямая ссылка): matematmetodivfizike1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 103 104 105 106 107 108 < 109 > 110 111 112 113 114 115 .. 185 >> Следующая


Рис. 11.1. Графики функций Бесселя J0(X)t J1(X)

и J2(X).

Следовательно, можно считать, что ряд начинается с S = п. Заменив S на s-f-rc, получим

откуда немедленно следует, что функции Jn(X) и J-n(X) связаны друг с другом:

J_n(x) = (— \)п Jn(x)t л —целое. (IbB)

Ряды (11.5) и (11.6) можно использовать и при нецелых п для определения соответствующих функций Бесселя Jn (л')'и (х) (см. упр. 1). На рис. 11.1 показано поведение функции Бесселя.

Рекуррентные соотношения. Рекуррентные соотношения для функции Jn (х) и ее производных можно получить непосредственно из разложения (11.5), но удобнее вое- ] пользоваться производящей функцией g (х, t), Дифферен-

1,0

'P X

OO

(11.7) Ь 11.1. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ ПЕРВОГО РОДА

415

цируя (11.1) по t, получаем

OO

-STе(*' = 2 nJn(x)("-\

П— — ОЭ

(11.9)

Подставив в соотношение (11.9) разложение экспоненты (11.2) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях t *, имеем рекуррентное соотношение

Jn4 (*)¦+Jn-H (X) = ^Jn (X). (11.10)

Теперь, зная, например, J0 и Ji, можно найти J2 (или любую функцию Jn целого порядка). Продифференцируем (11.1) по х:

со

0-у ('-т)еС*/,Х1"1/'>= S ^W*"- (11.11)

П=—оо

і

Снова заменив производящую функцию разложением (11.2) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях t, получим еще одно рекуррентное соотношение

Jn4(x)-Jn+l(x) = 2Jrn(x). (11.12)

В частности

Jf0(X)=-Ji(X). (11.13)

Сложим уравнения (11.10) и (11.12), а результат поделим пополам:

Jn-i(x) = -j-Jn(x) + Jk(x). (11.14)

Умножим на хп и перегруппируем члены:

[XnJn (X)J = XnJn4(X). (11.15)

Вычтем уравнение (11.12) из (11.10), а результат поделим пополам; окончательно

Jnn (х) = Y Jn (X) ~~Jn (xh (11.16)

* Это возможно благодаря единственности ряда (см. разд. 5.7 И 6.4). 416

Г Jl А В А 11. ФУНКЦИИ БKCCEJlЯ

Умножив на х~п и произведя соответствующую перегруппировку, будем иметь

^lx-nJn(X))= -x-nJn+t (X). (11.17)

Дифференциальное уравнение Бесселя. Предположим, что имеется набор функций Zv (х), которые удовлетворяют основным рекуррентным соотношениям (11.10) и (11.12), при этом V не обязательно заданы в виде ряда (11.5). Уравнение (11.14) можно переписать так (n->v):

*Z;(x) = xZv_i(x)-vZv(x). (11.18) 1

Продифференцируем его по х:

xZ"v + (v + \)Z'v-xZ'v-1 Zvm = 0. (U. 19)

Умножим далее это уравнение на х, а затем вычтем из него уравнение (11.18), умноженное предварительно на v:

x2Z; 4 xZ'v - V2Zv + (v- 1) xZv-j - x2Z;_і = 0. (11.20)

Перепишем (11.16), заменив в нем п на v— 1:

xZ;_ і = (v — 1) Zv_j — xZv. (11.21)

Используя соотношение (11.21) для нахождения Zv_t и Zi_i из (11.20), окончательно получим

x2Z;+xZ'y, + (X2-V2) Zv = O. (11.22)

Это и есть уравнение Бесселя. Очевидно, можно утверждать, что любые функции Zv (х), которые удовлетворяют рекуррентным соотношениям (11.10) и (11.12), (11.14) и (11.16) или (11.15) и (11.17), удовлетворяют уравнению Бесселя, иначе говоря, неизвестные функции Zv являются функциями Бесселя. В частности, мы убедились, что функции Jn (х), определенные с помощью производящей функции, также удовлетворяют уравнению Бесселя.

Интегральное представление. Особенно, удобно пользо-,4 ваться функциями Бесселя, если представить их в инте-' гральной форме. Вернемся к производящей функции (IIjI)'' и произведем замену t — ei0:

ei*sin 0 = J0 (X) + 2 [/а (х) cos 20 + J4 (х) cos 40 + ... ] +

+ 2і [ Ji (X) sin 0 + J3 (х) sin 30 + ... ]. (11.23);) 11.1. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ ПЕРВОГО РОДА

417

Здесь учтено, что

J1 (х) eie 4 J1 (JC) Є-І0 = 2Ui (х) sin 0,

Ji (X) e2ie -ь J2 w е-2іе = 2J2 (*) cos 20, ...

В результате, приравняв соответственно реальную и мнимую части, получим

(11.24)

OO

cos (х sin 0) = J0 (*) 4- 2 S JznW cos (2^0),

п—і

1

OO

sin(*sin0) = 2 2 Jto-I (X) sin [(2/1-1)0].

n=i

(11.25)

Принимая во внимание свойства ортогональности синуса

и косинуса*

я я

j cos л0 cos m9 cf0 = у 6nm» [ sin «0 sin m0 cf0 = у блт,

(11.26)

где n и m — натуральные числа (нуль исключается)**, получаем

J cos sin0) COSп0 ^e = I Jn (11,27)

1 Г f Jn(X)1 п-четное,

нечетное,

я

- f sin(xsin9)sin/i0d0 = J0' «-четное, (J "j і Jn (х), л —нечетное.

Если сложить эти два уравнения, то

я

Jn (*) = JL j [cos (X sin 0) cos /10 4 sin (x sin 0) sin /10] dQ =

о

я

, =4" \ COS («0-JC sin 0) rfo, /1-0, 1, 2, 3,... (11.29)

3» J

*Они являются собственными функциями самосопряженного уравнения (уравнение линейного осциллятора) и удовлетворяют соответствующим граничным условиям {см. разд. 9.2 и 14.1). ** Условие (11.26) выполняется, когда либо п = 0, либо т — О, ; однако одновременное равенство нулю исключается.

; 27—1257

ач if 418 Г Jl А В Л П. ФУНКЦИИ BF.CCFJia

Как частный случай

л

J0 (х) - ~ J COS (JC sin 0) с/0. (11.30)

о

Интегральное представление (11.29) можно получить, применяя {контурное интегрирование (см. ниже упр. 13). Нужно заметить, что наряду с полученным существует

Предыдущая << 1 .. 103 104 105 106 107 108 < 109 > 110 111 112 113 114 115 .. 185 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed