Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Доказать, что
OO
J —s!(l—2-«)C(s+I)t Re (s) > 0. (2)
о
Соотношения (1) и (2) иллюстрируют интегральное преобразование Меллина (разд. 15.1).
9. Релятивистская волновая функция Дирака для атома водорода
содержит множитель [2(1 —Ot2Z2) 1/2]1, где постоянная тонкой структуры a= 1/137, a Z--атомный номер. Разложить этот множитель B рЯД ПО Степеням OL2Zi.
10. При кваптовомеханическом описании частицы в кулоновском поле необходимо знать аргумент комплексной факториальной функции. Определить аргумент (1+ *'?)! для малых Ь.
10.3. РЯД СТИРЛИНГА
Для вычисления In (г!) при очень больших г (в статистической механике), а также при подсчете этой величины в случае нецелых значений аргумента требуется оазложе-ние In (г!) в ряд по отрицательным степеням г. Вероятно, 10.3. РЯД СТИРЛИНГА
401
наиболее изящный способ получения такого разложения связан с применением метода перевала (см. разд. 7.4). Рассмотрим метод, который не требует проведения контурного интегрирования и является особенно простым.
Использование формулы Эйлера — Маклорена. Формула Эйлера — Маклорена для вычисления определенного интеграла имеет вид
п
j/W«i* = yf(0) + f(lj + /(2)+...+-5-f(«)-
О
-МП«)-Г(O)I-MH")-ПО)]-..., (10.45)
где коэффициенты Ь2п связаны с числами Бернулли B2n (см. разд. 5.8) соотношением
{2п)\Ь2п = В2п, (10.46)
причем
B0=I1 B2 — 1/6, Bk= -1/30, B? — 1/42, B8- 1/30, ...
(10.47)
Применим формулу (10.45) для вычисления определенного интеграла
OO
ІтгЙН- (10-48)
О
Для г, не лежащих на отрицательной вещественной полуоси, имеем
T= 2^+-^(*)-?-^-... (10.49)
Воспользуемся соотношением (10.46) и разрешим последнее уравнение относительно 3F* (г):
OO
<ггч7\ — J___L Ai —J___L--U V
v ' " z 2z2 ~Ґ z'A 2® ----Z 2г2 ' ZJ •
Ji=I
(10.50)
В силу исключительно сильной расходимости чисел Бернулли этот ряд не сходится. Он относится к типу асимптотических рядов и, несмотря на его расходимость, используется для практических вычислений (см. разд. 5.10),
26-1257 402
ГЛАВА 10. ГАММА-ФУНКЦИЯ
Однократное интегрирование последнего выражения дает дигамма-функцию
.F (гН С, + In г-I-J 02 В"
'Iz 2г'2 4 г1
OO
I -CT S2
^ C1-I-In г I 2 ет- (10.5І)
П— і
Если проинтегрировать (10.51) по г от г — 1 до г и затем устремить г к бесконечности, то постоянная интегрирования Ci обратится в нуль.
Таким образом, формула (10.51) дает второе выражение для дигамма-функции, используемое столь же часто, как и форма записи (10.38).
Ряд Стирлинга. Неопределенный интеграл от дигамма-функции (10.51) равен
In
•••+2n (2п-ї )22"-I+... ' (10'52)
где C2- новая постоянная интегрирования. Для определения C2 удобно воспользоваться формулой удвоения Лежандра (см. разд. 10.4):
Zl (г - 1/2)! = 2-2гя1/2 (22)1 (10.53)
В справедливости этой формулы в случае целых положительных г можно сразу убедиться, записав (2г)! как произведение четных членов на произведение нечетных членов и последующего выделения множителя, равного 2, от каждого члена (см. упр. 4). Подставив (10.53) под знак логарифма в формуле удвоения, мы найдем C2:
C2 = -I In 2л, (10.54)
откуда
In (zl) = у In 2л + (* + у) In Z-Z +
+ 16OF + T26O?~ ''' (10.55) io.1 р#д сїирлиига 403
Это асимптотическое разложение называют рядом Стирлинга. Абсолютное значение ошибки при использовании
Рис. 10.3. Точность формулы Стирлинга: S" +V2e-8 (1-М/12*) й 1?8 + 1/?-8
а ¦----:- ; о--—:- .
si s!
этого ряда меньше абсолютного значения первого отбрасываемого члена.
S+V2
s!
0,92213 0,95950 0,97270 0,97942 0,98349 0,98621 0,98817 0,98964 0,99078 0,99170
Vlh «+»/«е-« [1 + 1?-]
_ _
0,99898 0,99949 0,99972 0,99983 0,99988 0,99992 0,99994 0,99995 0,99996 0,99998
26* 404
ГЛАВА Ю. гамма-ФУИКЦМЯ
Постоянные интегрирования Ci и C2 можно также определить, сравнивая с первым членом разложения, которое получается по методу перевала (см. разд. 7.4).
Для более ясного представления масштаба ошибки, с которой связано пользование разложением Стирлинга, па рис. 10.3 изображена кривая отношения первого члена в разложении Стирлинга к величине s! В табл. 10.2 приведены отношения одного первого члена и суммы первых двух членов к величине s!.
Упражнения
1. Переписать формулу Стирлинга для г!
Ответ-. = + + .
2. Определить относительную точность ряда Стирлинга для In (г!) при Z = 4 в случае одного, двух, трех и четырех членов.
3. Интегрируя уравнение (10.5І) от г—1 до z и затем полагая, что Z —>- оо, определить постоянную Cj в асимптотическом представлении дигамма-функции ^r (г).
4. Логарифмируя формулу удвоения, показать, что постоянная C2 в формуле Стирлинга равна (1/2) In 2л.
5. Не используя формулу Стирлинга, показать, что 1п(л!)< tl-j~ 1 п
< J lnxdx, In (л!) > j Inxdxt п—целое >2. Отметим, что ариф-
1 1
метическое значение этих двух интегралов дает хорошее приближение разложения Стирлинга.
10.4. БЕТА-ФУНКЦИЯ
Используя интегральное определение (10.25), можно представить произведение двух факториалов в виде произведения интегралов. Для упрощения возьмем интегралы в конечных пределах
