Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Показать, что {2п)\\ = 2пп\, (2л+ 1)!! = (2п-Ь 1)!/2пп!.
12. Представление функций Лежандра второго рода степенным рядом содержит выражение
_(п +1) (п -f 2) (п -f 3)... (п + 2s-1) (п -f 2s)_
2-4.6-8...(2s-2).(2s).(2s + 3)(2s + 5)(2s + 7)...(2s + 2n+l) '
в котором S— натуральное число. Переписать это выражение через факториалы.
10.2. ДИГАММА- И ПОЛИГАММА-ФУНКЦИИ (ПРОИЗВОДНЫЕ ГАММА-ФУНКЦИИ)
Дигамма-функция (логарифмическая производная гамма-функции). Из различных определений, с помощью которых ввели гамма-функцию, можно заметить, что они неудобны для непосредственного вычисления производной этой функции. Вместо этого обычно берут натуральный логарифм гамма-функции (10.1), получают1 вместо произведения сумму и затем дифференцируют, т. е.
г| =Jl1IU+')Н-2І...(И-») (10-36) 10.2. ДИГАММА- И ПОЛНГАММА-ФУІІКЦНИ 397
и
- In (zl) =.-- lim [In (/г!) + 2 In rt - In (2 + 1) -
Il-YCO
- In (z 4- 2) - ... - In (2 + rt)b (1 о.37)
где логарифм предела равен пределу логарифма. Дифференцируя по 2, получаем
4- In (2!) = ^r (2) = Iim (In п-----> —...--!_ \
dz w „^00 V 2+1 г+2 г + п/ '
(10.38)
которое определяет дигамма-функцию Jr (z). Если вновь воспользоваться постоянной Эйлера (см. разд. 5.2. и 5.6), то (10.38) можно переписать иначе:
OO
.FW=-С- 2 (Ur-I). (10.39)
11=1
Одно из приложений уравнения (10.39) связано с представлением функции Неймана рядом (см. разд. 11.2). Очевидно, что
& (0)= -C = -0,577215664901 ... * (10.40)
Другая, вероятно чаще встречающаяся, форма записи ¦F (2), приведена в разд. 10.3.
Полигамма-функция. Повторное дифференцирование дигамма-функции приводит к полигамма-функции:
(21) = (-1 Г"'"1*
оо 71— і
Графики & (я) и IFt (л:) приведены на рис. 10.1,а. Ряд из уравнения (10.41) определяет дзета-функцию Римана**
* Постоянная С вычислялась до 1271 знака [Knuth D. E., Math. Сотр., 16, 275 (1962)1 и до 3566 знака [Sweeney D. W., Math. Сотр., 17, 170 (1963)1. Интересно, что отношение 228/395 дает эту постоянную с точностью до шестого знака.
** В разд. 5.8 при z Ф 0 этот ряд использовался для получения обобщенной дзета-функции. 398 ГЛАВА 10. ГАММА-ФУНКЦИЯ
(С 2 = 0)
со
t M=S-JB-, («О.«)
M= 1
поэтому
(0) - (- l)'n+1 т\ I (т+ 1). (10.43)
Дзета-функция Римана. В табл. 10.1 приведены значения дзета-функции для различных аргументов. Характер изменения этой функции показан на рис. 5.4.
Таблица 10.1
S Us) s Us)
2 1,6449340668 7 1,0083492774
3 1,2020569032 8 1,0040773562
4 1,0823232337 9 1,0020083928
5 1,0369277551 10 1,0009945751
б 1,0173430620
С помощью дзета-функции Римана можно записать разложение Маклорена для In (zl)
In(z!)= -Cz +4-5(2) (3)+ ...
(10-44)
которое сходится внутри единичного круга |z |< 1; при z = x областью сходимости будет отрезок —Jt-^l. Записанное разложение позволяет вычислять гі для вещественных или комплексных Zf однако для этой цели удобнее пользоваться рядом Стирлинга (см, разд. 10.3) и, кроме того, имеются превосходные таблицы значений гамма-функции комплексного аргумента, составленные с помощью ряда Стирлинга и рекуррентной формулы (Ю.29) *.
* Table of the Gamma Function for Complex Arguments, National Bureau of Standarts, Applied Mathematics Series, No. 34. 10.2. ДИГАММА- И ПОЛИГАММА-ФУНКЦИИ 399
Упражнения
1. Убедиться, что два представления дигамма-функции
x oo
^W=St-0 и srW=S 717?-0
J = I Г— 1
совпадают, если х—натуральное.
2. Функцию Неймана можно записать как*
со
«=4'. W (- -К ЗДЙ (IP-
(rt + г)!
r=0
n-i
__l_ (Я + Г—1)1 /_?\-n+2r
л 2л г! UJ
г=О
тогда как у Морса и Фешбаха она записана в форме
Nn = 1 [2 In (I) +C~ij)(л+ 1)] Jn W-
2 [1/р+1/(р+л)]
п Zl ( ' г\ (я+r)! I 2 j г=0
п—1
__1_ -у (/I—т— 1)1 \-п+2г
п 2л Г\ [ 2 )
г—О
Здесь ф (2) =d (In Г (z))}dz. Используя представление рядом, убедиться в тождественности этих различных представлений функции Неймана.
3. Получить конечно-разностное уравнение для полигамма-функции
W (2) + (-1)" (2+7)Ш+1 ' т = 2>
4. G помощью уравнения (10.39) показать, что
OO
Г'(г)__V fJ__1\
Г (Z)"" 2 Zl \z + n я;'
Tl= і
2Г(2г) Г' (г) Г'(г +1/2)
Г (2г) Г (г) Г (г+1/2)
¦Jeffreys H., Jeffreys В. S. Methods of Mathematical Physics. 2nd Ed, Cambridge University Press, 1950, 400 ' 'глава 10. гамма-фупкция
Интегрируя вторую, формулу, можно иным путем получить формулу удвоения (разд. 10.4).
OO
d f / е-' e-(2+1)t \
5. Доказать, что In (г!) = і I —---j—^rrJ ^t и» следова-
о
тельно, постоянная Эйлера равна
OO
C=Je-' (тіт-т)"-
6. Показать, что Г (х—iy) = и — iv, если Г (x-\-iy) = u + iv.
7. Полная энергия, излучаемая черным телом, равна
__ 8nk*T* f X* А U ~ C3Ii3 J е* - 1
О
Показать, что интеграл в этом выражении равен 3! ? (4) [?(4) = = л4/90= 1,0823...]. Конечный результат представляет собой закон Стефана — Больцмана.
8. Обобщить результат предыдущего упражнения и показать, что
OO
= Kc (S) >0. (1)
Cx-I о
