Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Факториальное обозначение. До сих пор гамма-функция рассматривалась с помощью обычных классических обозначений. Однако —1 в показателе (z — 1) во втором определении (10.5) сильно мешает, поэтому перепишем (10.5) иначе:
OO
^e-Hzdt ~z\, Rez>-1, (10.25) !
о Ш ' Г Л А 6 А Ю. ГАММА-ФУНКЦИЯ
и определим тем самым факториальную функцию г\ Иногда для zl применяется обозначение Гаусса
П (Z) - zl (10.26)
Символ Г для обозначения гамма-функции был введен Лежандром. Факториальная функция из уравнения (10.25) связана с гамма-функцией соотношением
Г (z) = (г - 1)! или Г (z + 1) = zl (10.27)
Если Z — п, где п — натуральное число, то мы получим обычный факториал
z! = n! = 1 -2-3 . . .п. (10.28)
Однако необходимо четко представлять, что, поскольку факториальная функция z! определена соотношением (10.25) или эквивалентным ему (10.27), она не ограничивается только целыми положительными значениями аргумента (рис. 10.1, а). Конечно-разностное уравнение (10.2) в новых обозначениях принимает вид
(г — 1)! = zMz. (10.29)
Отсюда немедленно следует, что
0! = 1 (10.30)
и
/і! = ±00 для п—целого отрицательного (10.31)
(рис. 10.1,6). Соотношение (10.23) также можно записать с помощью факториальной функции
г\ (_z)| s jcz/sin я z. (10.32)
Интегральное представление. Интегральное представление гамма-функции, которым пользуются для асимптотического представления функций Бесселя рядами, имеет вид
J e-V dz = (e2niv -1) vi, (10.33)
с
где контур С показан на рис. 10.2. Представление контурным интегралом обычно применяется, когда v — нецелое, в этом случае Z = 0 — точка ветвления. Формула (10.33) а
и і -4 I -2 J її і і ' —
-4 -2 0 г I I I ' 1" 2 4 X
п
-2
л -4
5
Рис. 10.1. Графики (а) факториальной функции (In Jcl = (0,46163...)1 = 0,88560) и первых двух производных In {*!); факториальная функция отрицательного аргумента (б). 394 глава 10. гамма-функция
легко проверяется для V > — 1 деформированием контура (см. контур С' на рис. 10.2). Интегрирование в направлении от оо к началу дает vi, причем аргумент г равен нулю. Интегрирование в обратном направлении до оо (в четвертом квадранте) дает в результате e2irivv!, аргумент в этом случае увеличивается до 2я. В случае v > — 1 обход по малой
Рис. 10.2. Контур интегрирования С в интегральном представлении гамма-функции; С'— деформированный контур интегрирования (разрез вдоль положительной оси х).
окружности вокруг начала не дает вклада, и мы получаем результат (10.33).
Часто удобно представить этот результат в более симметричной форме
j е'2 (— z)v dv = 2isin^vrcv! (10.34)
с
Это соответствует такому выбору аргумента z в (10.33) когда он изменяется в пределах от —гс до -Ья.
Проведенный анализ позволил убедиться в справедливости (10.33) и (10.34) для V > — 1. Сравнительно нетрудно распространить эти результаты на любые нецелые v. Во-первых, мы замечаем, что интеграл существует для v < — 1, если только начало координат не попадает на контур интегрирования. Во-вторых, интегрирование по частям убеждает нас, что уравнение (10.35) приводит к конечно-разностному уравнению (10.29). Если теперь взять (10.29) за определение факториальной функции при v < — 1, то выражения (10.34) и (10.35) окажутся справедливыми для любых V (исключая' целые отрицательные значения). 10.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ, ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА 395
Упражнения
1. Используя интегральное представление Эйлера (10.5), получить рекуррентную формулу Г (z-f-1) = гГ (г).
2. Асимптотическое разложение (см. разд. 5.10) функции ошибок задается как
OO
Г е-«' dt- ОI--U —- ( цИ'-3.5...(2«-1) \
Je al~ X V 2*»^ 2«*« "Л ' 2%2П I
JC
(10.35)
Записать этот ряд в виде суммы по п, выразив коэффициент при п-м члене через факториал.
3. Преобразуя интеграл в гамма-функцию, показать, что
і
-jsMnxdx = , ft>—1-
0
оо
4. В статистической физике встречается интеграл ^ x2nt~axidx.
— OO
Показать, что
f „2пп—ах% _1«3*5.. .(2/1- 1) ( Jl \1/2
j --2^ '
— 00
Переписать правую часть этого равенства в общей форме, откуда при
л = 0 мы получим значение (л/а) 1^2.
5. Показать, что гамма-функцию Г (г) можно определить интегралами
00
Г (г) = 2 ? e-<2/2z-J dt, Re (г) > 0; о
і
Г(г)={ [in (i)]Z~V Re (г) >0.
о
00
6. Показать, что I е~*4 dx = (1/4)1 ж
ГЛАВА io. ҐАМмА-ФУЙКЦИЛ
7. Проверить равенства
со
J e-r!nrdr=-C, j re~r Inrdr= I-C1
о
оо оо
J гпе~г In г dr = (n— l)i -J- л ^ rn"fe-r lnrdr, n=l, 2,3, ... O O
Указание. Проинтегрировать по частям или продифференцировать по п интеграл, с помощью которого задана функция яГ
8. Найти полюса функции Г (г). Показать, что Г (z)'имеет только простые полюса и определить в них вычеты.
9. Показать, что уравнение x\ = k, k ф О имеет бесконечное множество вещественных корней.
10. Показать, что
OO
¦п=0
Это соотношение используется в теории ?-распада.
11. Во многих задачах электромагнитной теории получаются произведения
2п(2п—2)...6-4.2== (2/1)!!, (2я+1) (2п-1). ..5-3-1 s (2л+1)!!.
