Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
OO
2 фд(*)ФП(0.
71=0 9.4.ПОЛНОТА СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ 1
387
Показать, что в случае системы ортонормироваиных функций q>n уравнение (9.46) вытекает из уравнений (9.64) и (9.66). Указание.
Рассмотреть интеграл F (*)= ^F (t) b(x—t) dt.
5. Пусть Я —положительно определенный эрмитов оператор, т. е.
Ь
J f*Hf dx> 0. Доказать обобщенное неравенство Шварца
а
Ь
Ь
ь ГЛАВА 10
ГАММА-ФУНКЦИЯ (факториальная функция)
10.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ, ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
Гамма-функция возникает при нормировке волновой функции и вычислении вероятностей в статистической механике. Однако она в меньшей степени имеет непосредственное физическое приложение и истолкование, чем, скажем, функции Лежандра и Бесселя. Но с ее помощью можно определять другие функции, которые находят непосредственное применение в физических задачах.
Предельная форма Эйлера. Впервые гамма-функция была определена Эйлером в виде предела *
¦
Г (г) Iim , , *;2;3'" п, . Ji2. (10.1) ; (
n->ooM*+!) (Z + 2) ... (г-t-rt) v ' '
Заменим Z на г-И:
Г (Z + '> =J^ (г+1)(г+2)(г+зУ". =
=US^h •' с+')('+?-" (»+»)дг=гГ(г)- (10'2) ;
Это основное функциональное соотношение для гамма-функции. Необходимо заметить, что последнее уравнение — уравнение в конечных разностях. Показано, что гамма-функция принадлежит к общему классу функций, которые не удовлетворяют ни одному дифференциальному уравнению с рациональными коэффициентами. Из определения гамма-функции имеем
г(і) = lim , 2'3,,:"пя=і. (іо:з) ,
* В этой главе под г будем подразумевать либо вещественное, либо комплексное число. IO.!. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
389
Далее, из уравнения (10.2) вытекает, что
Г (2) = 1, Г (3) - 2Г (2) = 2, . . ., Г (я) =(л— 1)!
(10.4)
Интегральное представление Эйлера. Второе определение гамма-функции также связано с именем Эйлера:
OO
Г (г) = j е-Н"'1 dt, Re (Z) > 0. (10.5)
о
Ограничение на переменную z необходимо, чтобы интеграл сходился. В различных физических задачах гамма-функция встречается либо именно в этой форме, либо в несколько измененном виде:
ClO ,
ВД = 2 J е-^22"1 dt, Re (z) > 0, (10.6)
о.
і
Г(2)= j [ln(-y)]'"lA, Re(z)>0. (10.7)
о
При Z = 1/2 уравнение (10.6) точно совпадает с интегралом ошибок Гаусса и, следовательно,
Г (1/2) =/я. (10.8)
Для доказательства эквивалентности двух определений гамма-функций (10.1) и (10.5) рассмотрим функцию двух переменных
п
F (Zt л)= j (l—?)nfz_1 dt, Re (z) > O1 (10.9) о
где п — целое положительное число*. По определению экспоненты,
lim (I-Mn^e-', (10.10)
Il-VOD V П '
поэтому в согласии с (10.5)
OO
Iim F (г, n)^F(z, оо)= [ e^f"1 dt ^ Г (г). (10.11)
* Форма записи F (z,ti) предопределена видом бета-функции (10.60). 390
г Jl Л В А 10. ГЛММЛ-ФУПКЦИЯ
Рассмотрим вновь F (г, п) и последовательно проинтегрируем по частям. Для удобства положим и = t/n, тогда
і
F (г, п) = пг j (I-H)nUr-1Cfo. (10.12) о
Проинтегрируем по частям
і
* + у \ [I-Uy1-1UzCki. (10.13) 0 о
Повторяя эту процедуру и учитывая, что проинтегрированная часть на обоих пределах интегрирования равна нулю, получаем
і
P (*. «) = пг .V [ Uz+"-1 du =
4 ' „ ' 2(2+1) ... (2 + rt—1) J
0
b2'3",rt /г2, (10.14)
Z (2+1) (2 + 2) ... (2 +л)
что идентично правой части уравнения (10.1). Отсюда
Iim F (z, n) = F(z, оо) S Г (Z)1 '(10.15)
Tl-V сю
т. е. утверждение доказано.
Бесконечное произведение Вейерштрасса. Дадим третье определение (Вейерштрасса) гамма-функции, используя бесконечное произведение
со
= Д (l+-Ije-*/", (10.16) Il
Г (г)
W=I
где С —постоянная Эйлера:
С-0,577216 ... (10.17) 1
Эта форма записи следует из первого определения (10.1) гамма-функции, которое можно переписать иначе:
п
lim f u;3"'/,^2- Hm — тт f м- — W-
' n-vco2(2+l) ... (z+rt) n—>со 2 1M m )
m— 1
(10.18)
Воспользуемся тем, что
rrz-e<-lnn>V ..... (Щ9) 10.1. ОП P К Д EJl E11И F.. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА 391
тогда
11
_^ = г„г«-,„„,2П(1+А). (10.20)
7П=І
Умножим и поделим это на
п
exp [(1 +1+ у + • • • +т) z] = П ег/т- (Ю-21)
ТП—І
TW=2 fcехр [(1 +т+т+• • •+T-Hг]} X
п
х["т П ('+т)е_г/т] • <10-22)
»-п-юо . х ' -J
т=1
Как показано в разд. 5.2, бесконечный ряд в показателе экспоненты сходится к постоянной Эйлера, и мы приходим к равенству (10.16).
В разд. 5.9 мы убедились также, что бесконечное произведение Вейерштрасса, с помощью которого определена гамма-функция, приводит к важному тождеству
Г (г) Г (1 -2) = я/sin (яг). (10.23) ( I, I1
Снова полагая г — \/2, получим в согласии с (10.8)
Г (1/2) = VrSl (10.24)
(взято положительное значение квадратного корня).
Из определения Вейерштрасса сразу же следует, что Г (z) имеет простые полюсы в точках z — 0, —1, —2, —3, . . а функция [Г (г)]"1 не имеет полюсов в любой конечной области комплексной плоскости, иными словами, у Г (z) нет нулей. Эти же свойства следуют и из соотношения (10.23), в котором jc/(sin л z) нигде не обращается в нуль,
