Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
6. Доказать, что если векторная функция F зависит от пространственных координат X, у, z и от времени t, то 34
ГЛАВА 1. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
N
1.7. ДИВЕРГЕНЦИЯ V*
Дифференцирование векторной функции является обобщением дифференцирования скалярных величин. Предположим, что г (t) описывает положение некоторого тела в пространстве в*момент времени t. Тогда дифференцирование по времени дает
Л АМ M
где V — линейная скорость. Из рис. 1.15 видно, что эта производная характеризует наклон кривой, которая представляет собой траекторию движения тела.
Рис. 1.15. Дифференцирование вектора
Если разложить вектор г (t) на его компоненты в декартовой системе координат, то dr/dt всегда сводится к векторной сумме не более чем трех (в трехмерном пространстве) скалярных производных. В других координатных системах (см. гл. 2) ситуация несколько сложнее, так как единичные векторы уже непостоянна; Iio направлению. В дальнейшем будет показано, что дифференцирование по пространственным координатам выполняется точно так же, как и дифференцирование по времени.
В разд. 1.6 оператор V был определен как векторный оператор. Теперь, имея в виду его векторные и дифференциальные свойства, мы рассмотрим действие V на вектор. 1.7. ДИВЕРГЕНЦИЯ V-
35
Во-первых, скалярное умножение этого векторного оператора на вектор приводит к выражению
^=^+?-+^. (1-6°)
которое называе-рся дивергенцией вектора V. Дивергенция есть скаляр в том смысле, как он определен в разд. 1.3.
I
Пример 1. Вычислить V - г.
_ дх ду dz =3
дх ду dz
\
Пример 2. Обобщая предыдущий пример на случай произвольной функции / (г), имеем
V-rfV)=-fcl*f(r)]+-gjltf + (r)] = 3f (Г)+Г ^r.
В частности, если /(/")—rn_1, то
V. rrn-i = V. ГоГп=^-1 + (/1-1) Гп~ 1=(я+2) гп-1.
Дивергенция этой величины обращается в нуль при п= —2; этот факт имеет важное значение для обсуждения в разд. 1.14.
Для более ясного представления физической сущности дивергенции рассмотрим V.(pv), где v (х, у, г) — скорость течения сжимаемой жидкости; р (.х, у> z) — плотность этой жидкости в точке (*, г/, z). Если рассмотреть'некоторый элемент объема dx dy dz (рис. 1.16), то количество жидкости, поступающей в этот объем в единицу времени через поверхность EFGH (положительное направление оси х), выразится так: (приток)efGH = pf* dy dz. Количество вытекшей из объема жидкости через поверхность ABCD (также положительное направление оси л:) равно: (ctok)abcd = Грс* +
+ Qx (pik) dx~^ dy dz; производная * учитывает возможность зависимости неоднородной плотности или скорости, или
* Это разложение дает иервые члены ряда Маклорена (см. Разд. 5.6) f (h) = /-(0) + (dfldx) h + ^fldx2) hV2!+ . . ., в котором h — dx. Значение каждой производной берется в начальной точке X ~ 0. 36
ГЛАВА 1. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
сразу обеих этих величин от х *. Полный расход жидкости через эти две поверхности равен просто разности двух потоков или расходу в направлении оси х: ^ (рсх) dxdy dz.
Ч
dz
И а
Г f* F
E с
уИх У
dU
?
Рис. 1.16. Дифференциальный прямоугольный параллелепипед (в первом, или положительном, октанте).
Дополнительный расход жидкости происходит через остальные четыре поверхности данного элемента объема, полный расход (в единицу времени) равен
[
д (Pu*)+Ту + Ti (Pu*)] dxdy dz —V. (pV) dx dy dz.
dx
(1.61)
Следовательно, полное количество сжимаемой жидкости, прошедшей через единицу объема в единицу времени, равно V.(pv). Отсюда и название дивергенция или расходимость. Одним из примеров использования дивергенции является уравнение непрерывности
ф + v. (pv) = O,
(1.62)
согласно которому полный расход жидкости через данный объем равен уменьшению плотности жидкости внутри этого объема.
* Строго говоря, величина pox усредняется по поверхности ABCD4 по этой же поверхности нужно усреднять и выражение рия + + (д/дх) (pi>*) dx. Однако, взяв произвольный элемент объема достаточно малым, можно от средних величин перейти к тем, которые использованы выше. 1.8. РОТОР VX
37
Член V.(/V), в котором / — скалярная функция, а V — вектор, может быть записан в виде \
V.(fV)
* і"
дх
df т/ ,? dVx
дх
df №
у
dz df
dV7
dz
(1.63)
Полученное соотношение имеет тот же вид, что и формула для производной от произведения. В частном случае, когда V-B = O, вектор В называют соленоидальным. Этот термин заимствован из примера, в котором В представляет собой магнитную индукцию. Уравнение (1,63) оказывается одним из уравнений Максвелла.
Упражнения
1. Доказать формулу V-(axb) = b-V-a — a-V-b. Замечание. Рассматривать левую часть формулы как смешанное произведение.
2. Делая поворот системы координат, показать, что V-V' = — V'V, и, следовательно, по определению, дивергенция вектора— скаляр (достаточно рассмотреть двумерный случай).
3. Твердое тело вращается с постоянной угловой скоростью Показать, что линейная скорость v соленондальна.
4. Электростатическое поле точечного заряда q равно E = Я г0
