Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Александров А.Д. -> "Математика ее содержание, методы и значение Том 3" -> 99

Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.

Александров А.Д. Математика ее содержание, методы и значение Том 3 — М.: Академия наук , 1956. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): matemateesoderjanieiznacheniet31956.djvu
Предыдущая << 1 .. 93 94 95 96 97 98 < 99 > 100 101 102 103 104 105 .. 145 >> Следующая


Глава JLlJL. Функциональный анализ

чисел as была последовательностью коэффициентов разложения по ортогональной системе функций |из гильбертова пространства, необходимо и достаточно, чтобы

OO

сходился ряд 2 flIfc-І=1

Заметим, что эта существенная теорема имеет место, если определить гильбертово пространство как совокупность всех функций с интегрируемым квадратом в смысле Лебега (см. § 2, стр. 223). Если в гильбертовом пространстве ограничиться только, например, непрерывными функциями, то решение вопроса о том, какие числа ед могут служить коэффициентами разложении, было бы ненужным образом весьма усложнено.

Приведенные здесь соображения являются лишь одной из причин, приведших к необходимости использовать при определении гильбертова пространства интегралы в обобщенном (по Лебегу) смысле.

§ 4. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

В этом параграфе мы познакомим читателя с одним из важных и исторически одним из первых разделов функционального анализа, а именно с теорией интегральных уравнений, сыгравших также существенную роль в дальнейшем развитии функционального анализа. В развитии теории интегральных уравнений, кроме внутренних потребностей математики [например, краевые задачи для уравнений в частных производных (том 2, глава VI)], имели большое значение различные задачи физики. Наряду с дифференциальными уравнениями в XX в. интегральные уравнения являются одним из важных средств математического изучения различных вопросов физики. В этом параграфе мы изложим некоторые сведения из теории интегральных уравнений. Те факты, которые мы здесь изложим, тесно связаны и в значительной степени возникли (прямо или косвенно) в связи с изучением малых колебаний упругих систем.

Задача о малых колебаниях упругих систем. Вернемся к рассмотренной в § 2 задаче о малых колебаниях. Найдем уравнения, описывающие такие колебания. Для простоты предположим, что мы имеем дело с колебаниями линейной упругой системы. Примерами таких систем могут служить, скажем, струна длины I (рис. 8) или упругий стержень (рис. 9). Предположим, что в положении равновесия наша упругая система расположена по отрезку Ol оси Ох. Приложим в точке х единичную силу. Под действием этой силы все точки системы получат некоторое отклонение. Отклонение, возникшее в точке у (рис. 8), обозначим через к(х, у).

Функция к(х, у) является функцией двух точек: точки х, в которой приложена сила, и точки у, в которой мы измеряем отклонение. Она называется функцией влияния.

Из закона сохранения энергии можно вывести важное свойство функции влияния к(х, у), а именно так называемый закон взаимности: отклонение, возникающее в точке у под действием силы, приложенной § 4. Интегральные уравнения

231

в точке х, равно отклонению, возникающему в точке х под действием той же силы, приложенной в точке у. Другими словами, это значит, что

к(х, у) = к (у, X). (22)

Найдем, например, функцию влияния для продольных колебаний упругого стержня (на рис. 8 изображались другие, поперечные, смещения). Рассмотрим стержень AB длины I, закрепленный на концах (рис. 9). Приложим в точке С силу /, действующую в направлении В. Под действием этой силы стержень деформируется и точка С сместится в положение С'. Величину смещения точки С обозначим через h. Найдем сначала h. При помощи h мы сможем затем найти смещение в любой точке у. Для этого воспользуемся законом Гука, утверждающим, что сила пропорциональна относительному растяжению (т. е. отношению величины смещения к длине). Аналогичное соотношение имеет место и при сжатии.

Под действием силы / часть стержня AC растягивается. Возникающую при этом силу реакции обозначим через T1. В то же время часть стержня CB сжимается, порождая силу реакции T2. В силу закона Гука

= у" ? ' Т2 = х T^ '

где х. — коэффициент пропорциональности, характеризующий упругие свойства стержня. Условие равновесия сил, действующих на точку С, дает нам

h

h

f = Xlc

т. е. / =

Vilh

x (i - x)

Отсюда

/

h = jjx(l—x).

Для того чтобы найти смещение, возникающее в некоторой точке у, лежащей на отрезке АС, т. е. при у<^х, заметим, что из закона Гука

А

I-

f

В А -л I-

I О Рис. 9.

f

x+h'

В н

следует, что при растяжении стержня относительное растяжение (т. е. отношение смещения точки к расстоянию ее от неподвижного конца) 232

Глава JLlJL. Функциональный анализ

не зависит от положения точки. Обозначим смещение точки у через к. Тогда, приравняв относительные смещения в точках х и у, получаем

к__ h_

У х '

отсюда

к = к^={їУ(1 — хї ПРИ У<х-

Аналогично, если точка лежит на отрезке CB (у > х), получаем

k=hl=% = -Lx(l-y).

Вспоминая, что функция влияния к (х, у) есть отклонение в точке у под действием единичной силы, приложенной в точке х, получаем, что для продольных колебаний упругого стержня функция влияния имеет вид

—х) ПРИ у<х>

У) = і

\-^Гх(1 — у) ПРИ у>х-

Можно было бы более или менее подобным образом найти функцию влияния для струны. Если натяжение струны Т, а длина I, то под действием единичной силы, приложенной к тонке х, струна приобретает форму, изображенную на рис. 8, и смещение к (х, у) в точке у задается формулой
Предыдущая << 1 .. 93 94 95 96 97 98 < 99 > 100 101 102 103 104 105 .. 145 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed