Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
/(®) = «і?і(*) + «ї%(®)+ ... +в.?„(®)+ ... (17)
определяются по формулам
ь
в»=J/(О?» (О Л- (18)
к
В качестве примера рассмотрим ортогональную нормированную тригонометрическую систему функций, приведенную выше: 1 Cosa; sin ж cos 2х sin2a:
7? ' TiT ' ' у/ч '
Тогда
/(*)
где
T
If 1 с
а0 = — / (я) dz, а„ = — / (х) cos пх dx,
-71 -71
71
bn = — j* f (x)s\nnx dx.
—71
Мы получили формулу для вычисления коэффициентов разложения функции в тригонометрический ряд в предположении, конечно, что это разложение возможно1.
Мы установили вид коэффициентов разложения (18) функции / (ж) по ортогональной системе функций в предположении, что такое разложение имеет место. Однако бесконечная ортогональная система функций ф,, ^2, ..., <р„, ... может оказаться недостаточной для того, чтобы по ней можно было разложить любую функцию из гильбертова пространства. Чтобы такое разложение было возможно, система ортогональных функций^должна удовлетворять дополнительному условию — так называемому условию полноты.
Ортогональная система функций называется полной, если к ней нельзя добавить ни одной, не равной тождественно нулю функции, ортогональной ко всем функциям системы.
Легко привести пример неполной ортогональной системы. Для этого возьмем какую-нибудь ортогональную систему, например ту же
і О тригонометрических рядах см. также главу XII (том 2), § 7.
15*
2
2 ап cos пх bn sin пх, 228
Глава JLlJL. Функциональный анализ
систему тригонометрических функций, и исключим одну из функций этой системы, например cos я. Оставшаяся бесконечная система функций
1, sin х, cos2a:, sin2a:, ..., cos ля, sin/гх,___
будбт попрежнему ортогональной, но, конечно, не будет полной, так как исключенная нами функция cosrc ортогональна ко всем функциям системы.
Если система функций не полна, то не всякую функцию из гильбертова пространства можно по ней разложить. Действительно, если мы попытаемся разложить по такой системе нулевую функцию /0 (х), ортогональную ко всем функциям системы, то, в силу формул (18), все коэффициенты окажутся равными нулю, в то время как функция /0(я) не равна нулю.
Имеет место следующая теорема: если задана полная ортогональная и нормированная система функций в гильбертовом пространстве Ip1 (х), <р2 (х), .. -, <р, (х), ..., то всякую функцию f(x) можно разложить в ряд по функциям этой системы1
/ И = aX Ь (я) + «t ?! (*)+•¦•+«. <р» (®) +•• •
При этом коэффициенты ап разложения равны проекциям векторов / на элементы ортогональной нормированной системы
ъ
1« = (/. <Ря) = J/ (х) 9«(х) dx.
а
Имеющаяся в § 2 теорема Пифагора в гильбертовом пространстве позволяет найти интересное соотношение между коэффициентами at и функцией / (х). Обозначим через гп(х) разность между / (х) и суммой первых п членов ее ряда, т. е.
Гп (*) = / (*) — К Фі (я) + ¦ • ¦ + an Vn (*)].
Функция г„ (х) ортогональна к Ip1 (х), (х), ...,<?„ (х). Действительно, проверим,
о
что она ортогональна к fi (х), т. е. что j rn (х) V1 (х) dx = 0. Мы имеем
и
b ь
j Гп (X) ?! (X) dx = J [/ (X) — a j Cp1 (X) — а2 <р2 (х) — ... — а„ s„ (ж)] (х) dx = а я
О if
= [ / (Я) Ь (X) dx - ,J1 J 9? (X) dx:>
а «
1 Это* ряД относится к своей сумме в том смысле, как это было определено формулой (16).
2 Остальные интегралы равны нулю, так как функции %(») ортогональны между собиё. § 3. Разложение по ортогональным системам функций
228
ь
Так как ах = J/ (х) O1 (х) dx, a J ff (х) dx == 1, то отсюда следует, что | r„ (х) 9j (х) dx==0.
а а а
Итак, в равенстве
/ (х) = O1 O1 (х) + а2 Ф2 (х) + ... + а„ ?„ (х) 4- г„ (ж) (19)
отдельные слагаемые правой части ортогональны между собой. Значит, в силу теоремы Пифагора, сформулированной в § 2, квадрат длины вектора f (х) равен сумме квадратов длин слагаемых правой части равенства (19), т. е.
ь ь ь ь
[ f- (X) dx = ([/j1 9l (t)P dx 4- ... 4- f [«» fn (*)F dx + \ r* (X) dx
a a a a
Так как система функций <?2, ... 9« нормирована [равенство (14)], то ь ь .
f /2 (*) dx = а* + ¦+ ... 4- «і + f rl (X) dx. (20)
а а
со
Ряд 2 at tPt (х) сходится в среднем. Это значит, что
S=I
j" [/ (х) — а, ?! (х) — ... — а„ <р„ (ж)]2 dx -»¦ 0.
т. е. что
[ rl (X) dx 0. а
Но тогда из формулы (20) мы получаем равенство
і
ь
J = ) (21)
а
утверждающее, что интеграл квадрата функции равен сумме квадратов коэффициентов ее разложения по замкнутой ортогональной системе функций. Условие (21), если оно имеет место для любой функции из гильбертова пространства, называется условием полноты.
Обратим внимание еще на следующее важное обстоятельство. Какие числа as могут служить коэффициентами разложения функции из гильбертова пространства?
Равенство (21) утверждает, что для этого должен сходиться ряд ^ а\. Оказы-
S=I
вается, что этого условия достаточно, т. е. для того, чтобы последовательность
1 Геометрически это значит, что квадрат длины вектора гильбертова пространства равен сумме квадратов его проекций на полную систему взаимно ортогональных направлений. 280
