Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Глава XX. Группы, и другие алгебраические системы
Теория структур возникла совсем недавно — в 20—30-х годах нашего столетия и еще не имеет таких важных применений, как, скажем, теория групп. Однако уже в настоящее время теория структур — вполне оформившаяся математическая дисциплина с большим содержанием и существенной проблематикой.
§ 16. ОБЩИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
Б предыдущих параграфах была сделана попытка дать понятие о том, как применение алгебраических методов к все расширяющемуся кругу задач привело к расширению систем объектов, изучаемых алгеброй, и к обобщению понятия самих алгебраических операций. Большую роль в этом сыграло развитие аксиоматического метода, вызванное работами Н. И. Лобачевского по основаниям геометрии, а также развитие общей теории множеств.
Одним из основных итогов этого явилось постепенное выкристалли-зовывание общих понятий алгебраической операции, алгебраической системы и накопление важнейших фактов, относящихся к определенным алгебраическим системам. Вместо конкретно определяемых в школьной алгебре действий, относящихся большей частью к числам, в современной алгебре исходят из общего понятия действия или операции. Именно, пусть дана некоторая система элементов S и дано правило, сопоставляющее каждой системе av а2, . . , ат из тп элементов S1 взятых в определенном порядке, вполне определенный элемент а той же системы. Тогда говорят, что на системе S задана яг-членная операция и что элемент а есть результат этой операции, выполненной над элементами аг, Ci2,... , ат. Множество элементов, с определенными на нем одной или несколькими операциями, называется алгебраической системой. Одной из основных задач алгебры является изучение и классификация алгебраических систем. Однако в такой форме задача имеет слишком общий характер. На самом деле к настоящему времени оказались действительно важными и обладающими содержательными теориями лишь некоторые специальные алгебраические системы. Так, из систем с. одним действием в глубокую математическую науку разрослась пока лишь теория групп, которой были посвящены §§ 1—10 этой главы, а из систем с двумя и большим числом действий важное значение имеют теории полей, алгебр, колец и структур. Однако число фактически рассматриваемых по тому или иному поводу алгебраических систем непрерывно растет. В то же время некоторые классические разделы алгебры, как, например, учение о гомоморфизмах, о свободных системах и свободных объединениях, о прямых объединениях, а в последнее время и учение о радикале оказались перенесенными в общую теорию алгебраических систем. Это позволяет говорить об этой теории как о новом отделе алгебры. § 16. Общие алгебраические системы
331
Рассматривая характер алгебраической науки в делом, часто подчеркивают как отличительную ее особенность отсутствие или подчиненность понятия непрерывности, признавая тем самым алгебру наукой по преимуществу о дискретном. Такой взгляд, несомненно, отражает одну из важных объективных особенностей алгебры. В реальном мире прерывное и непрерывное находится в диалектическом единстве. Но чтобы познать действительность, иногда необходимо ее рассечь на части и изучать эти части порознь. Поэтому одностороннее внимание алгебры к дискретным соотношениям нельзя рассматривать как ее недостаток.
На примере теорий групп видно, что отдельные алгебраические дисциплины дают не только средства для технических вычислений, но и язык для выражения глубоких законов природы. Однако, помимо непосредственного практического значения ряда разделов алгебры для физики, химии, кристаллографии и других наук, в самой математике алгебра занимает одно из важных мест. По словам замечательного советского алгебраиста Н. Г. Чеботарева, алгебра была колыбелью многих новых идей и понятий, возникших в математике, и в значительной степени оплодотворяла развитие таких разделов математики, которые служат уже непосредственной базой физических и технических наук.
ЛИТЕРАТУРА і
Александров П. С. Введение в теорию групп. Учпедгиз, 1952. Ван дер Варден. Современная алгебра, ч. I и II. Гостехивдаї, 1947. Джекобсон Н. Теория колец. ИЛ, 1947. Курош А. Г. Теория групп. Гостехивдат, 1953. Понтрягин Л. С. Непрерывные группы. Гостехивдат, 1954.
Краткие исторические сведения н обсуждение основных методологических вопросов содержатся в БСЭ, в статьях: «Алгебра», «Групп теория», «Математика» и др. Обзор достижений советских математиков в области алгебры до 1947 г. помещен в сборнике «Математика в СССР ва тридцать лет», Гостехивдат, 1948.
Литература по федоровским группам укавана яа стр. 275.
1 Общие курсы алгебры были укаваны в литературе к главам IV и XVI. ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абель Н. 266, 276 Адо И. Д. 320 Александер 207, 208 Александров П. С. 26, 153, 206-
212, 301 Андронов А. А. 201 Архимед 16
Бельтрами Е. 109, 157 Бернулли Д. 225 Биркгоф Г. Д. 207 Боиаи Ф. 96, 99, 100, 303 Бойаи Я. 99, 100 Бокштейн М. Ф. 207 Болтянский В. Г. 207, 208 Больцано Б. 3 Брауэр 206
Вагнер В. В. 169 Валлис Д. 95 Варичак 117 Вахтер 96 Веблен 207 Веддербарн 319 Вейерштрасс К. Т. В. 15 Вейль Г. 322 Виноградов И. М. 326 Вороной Г. Ф. 141, 326
