Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Глава XX. Группы, и другие алгебраические системы
Как уже отмечалось, интерес к теории некоммутативных колец в значительной мере стимулируется весьма заметным значением теории колец операторов в функциональном анализе.
§ 15. структуры
Как читатель уже знает, множество объектов называется частично упорядоченным, если для некоторых пар его элементов определено, какой из этих объектов предшествует другому или подчинен другому, предполагая при этом, что: 1) каждый объект подчинен самому себе; 2) из подчиненности а объекту Ъ и подчиненности Ъ объекту а следует тождественность а с Ь\ 3) из подчиненности а объекту Ь и подчиненности Ъ объекту с следует подчиненность а объекту с. Отношение подчиненности обычно обозначают знаком
Важным примером частично упорядоченной совокупности является система всех подмножеств какого-либо множества, где отношение подчиненности означает, что одно подмножество является частью другого.
Если отношение подчиненности определено для каждой пары элементов частично упорядоченного множества, то множество называется упорядоченным (линейно). Упорядоченным, например, является множество действительных чисел, где отношение a ^b означает, что число а не больше Ь. Напротив, частично упорядоченное множество всех частей какой-либо совокупности, содержащей более одного элемента, не будет упорядоченным, так как подмножества без общих элементов уже не будут сравнимыми между собой.
Пусть элементы некоторого частично упорядоченного множества M обладают тем свойством, что каждая пара их a, b имеет единственный ближайший общий больший элемент с, т. е. такой, для которого a ^ с, b ^c и при любом d из М, удовлетворяющем условиям a ^d, b^.d, будет c^.d. Тогда M называется верхней полуструктурой, а элемент с «суммой» а и 6. Легко убедиться, что это «сложение» обладает следующими свойствами:
a-\-b = b-\-a, (а —(— &) —(— с = а —j— (& —j— с), а-\-а = а. (13)
Весьма замечательно, что можно утверждать и обратное. Если в некотором множестве определено действие сложения, обладающее свойствами (13), то, называя элемент а подчиненным элементу 6, если a-\-b = b, мы получим частично упорядоченное множество, в котором а-\-Ь будет единственным ближайшим общим большим для а и Ь.
Аналогично можно определить нижние полуструктуры, рассматривая вместо ближайших больших ближайшие меньшие, которые здесь называются «произведениями» данвых элементов. Эта операция обладает теми же свойствами, что и «сложение», именно
ab = ba, (ab)с=-a (be), аа = а. (14) § 15. Структуры
329
Частично упорядоченное множество, являющееся одновременно верхней и нижней полуструктурой, называется структурой. Согласно изложенному, в каждой структуре можно определить два действия, подчиненные условиям (13), (14). Однако эти действия связаны друг с другом, так как отношение a ^b в структуре можно записать в любой из форм a-\-b = b, ab = а. Иначе говоря, в структурах равенства a-\-b = b и ab = а должны быть равносильными. Оказывается, последнее условие можно записать алгебраически в виде равенств
a-\-ab = a, а (а Ц-6) = а, (15)
благодаря чему изучение структур становится чисто алгебраической задачей об изучении систем с двумя действиями, подчиненными требованиям (13), (14), (15). Значение алгебраического подхода к изучению структур, грубо говоря, состоит в том, что особенности той или иной конкретной структуры в отдельных случаях удается выразить в виде тех или иных алгебраических соотношений'-между элементами, а также воспользоваться богатым аппаратом классических теорий групп и колец.
Как уже упоминалось, совокупность всех подмножеств некоторого множества является частично упорядоченным множеством. Нетрудно видеть, что оно будет структурой, причем структурной суммой будет здесь объединение, а структурным произведением — пересечение соответствующих подмножеств. Если рассматривать не все, а только некоторые подмножества, то можно получить самые разнообразные структуры. Например, структурой будет совокупность всех подгрупп, а также всех инвариантных подгрупп произвольной группы, совокупность всех подколец и совокупность всех идеалов произвольного кольца и т. п. В частности, в структурах всех инвариантных подгрупп группы и всех идеалов кольца, кроме основных тождеств (13), (14), (15), имеет место еще следующий так называемый модулярный закон
а (ab с) = ab ас.
Теория структур с модулярным законом (дедекиндовых структур) составляет важную главу общей теории структур.
Значительное число теорем теории групп и теории колец является высказываниями о расположении подгрупп, инвариантных подгрупп и идеалов, вследствие чего эти теоремы могут быть переформулированы как теоремы о структурах подгрупп или идеалов. При некоторых ограничениях аналогичные теоремы имеют место и для общих структур. Таким путем в теорию структур были перенесены некоторые важные теоремы из теории групп, теории колец и других дисциплин. С другой стороны, использование аппарата теории структур оказалось полезным, наоборот, при нахождении свойств конкретных структур, например в теории групп и теории колец. 330
