Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
/ (X) = Df(X).
Заметим, что этот оператор определен не для всех функций из гильбертова пространства, а только для функций, имеющих производную, и притом принадлежащую гильбертову пространству. Эти функции составляют, как уже сказано, область определения данного оператора.
3°. Примеры I0 и 2° были примерами линейных операторов в бесконечномерном пространстве. С примерами линейных операторов в конечномерных пространствах мы встречались в других главах этой книги. Так, в главе III (том 1) изучались аффинные преобразования. Если аффинное преобразование плоскости или пространства оставляет начало координат на месте, то оно является примером линейного оператора в двумерном, соответственно трехмерном, пространстве. В главе XVl вводились линейные преобразования «-мерного пространства, являющиеся линейными операторами в «-мерном пространстве.
4°. В интегральных уравнениях мы уже по существу встречались с весьма важным и имеющим широкое применение в анализе классом линейных операторов в функциональном пространстве — так называемыми интегральными операторами. Зададим некоторую определенную функцию к(х, у). Тогда формула
ь
g(x) = \k(x, у) / (у) dy § 5. Линейные операторы
241
ставит в соответствие каждой функции / некоторую функцию g. Символически мы можем это преобразование записать следующим образом:
g= Af.
Оператор А называется в этом случае интегральным оператором. Можно было бы привести еще много важных примеров интегральных операторов.
В § 4 мы говорили о неоднородном интегральном уравнении
ь
f(x)=l\k(x,y)f(y)dy + h(x).
а
В обозначениях теории операторов зто уравнение перепишется так:
f = lAf-\- h, (33)
где X — заданное число, h — заданная функция (вектор бесконечного пространства), / — искомая функция. Однородное уравнение в тех же обозначениях переписывается следующим образом:
f = Mf. (34)
Классические теоремы об интегральных уравнениях, как, например, сформулированная в § 4 теорема о связи между разрешимостью^ неоднородного и соответствующего однородного интегральных уравнений, справедливы не для всякого операторного уравнения. Однако можно указать некоторые общие условия, накладываемые на оператор А, при которых эти теоремы верны.
Эти условия формулируются в топологических терминах и состоят в том, чтобы оператор А переводил единичную сферу (т. е. совокупность векторов, длины которых не превосходят единицы) в компактное множество.
Собственные значения и собственные векторы операторов. Задача о собственных значениях и собственных функциях интегрального уравнения, к которой нас привели задачи о колебаниях, формулировалась следующим образом: найти значения X, при которых имеются отличные от нуля функции /, удовлетворяющие уравнению
ь
/(ж) = X J Л (ж, у) f (у) dy.
а
Как и ранее, это уравнение может быть переписано так:
f = \Af
или
1в Зак. № 812
(35) 242
Глава JLlJL. Функциональный анализ
Будем теперь понимать под А произвольный линейный оператор. Тогда вектор /, удовлетворяющий равенству (35), называется собственным вектором оператора А, а число у — соответствующим собственным значением.
Так как вектор у / по направлению совпадает с вектором / (отличается от / лишь численным множителем), то задача разыскания собственных векторов может быть еще сформулирована как задача о разыскании ненулевых векторов /, не меняющих своего направления при преобразовании А.
Такая точка зрения на проблему о собственных значениях позволяет объединить задачу о собственных значениях интегральных уравнений (если А — интегральный оператор), дифференциальных уравнений (если А — дифференциальный оператор) и задачу о собственных значениях в линейной алгебре [если А является лйнейным преобразованием в конечномерном пространстве; см. главу VI (том 2) и главу XVI]. Для случая трехмерного пространства зта проблема встречается при отыскании так называемых главных осей эллипсоида.
В случае интегральных уравнений ряд важных свойств собственных функций и собственных значений (например, вещественность собственных значений, ортогональность собственных функций и т. д.) является следствием^ симметричности ядра, т. е. равенства к (х, у) = к (у, х).
Для произвольного линейного оператора А в гильбертовом пространстве аналогом этого свойства является так называемая самосопряженность оператора.
Условие самосопряженности оператора А в общем случае заключается в том, что для любых двух элементов Z1 и /2 имеет место равенство
(Afi, /2) = (Д, Af2),
где (Af1, /2) означает скалярное произведение вектора Af1 на вектор /2.
Требование самосопряженности оператора в задачах механики является обычно следствием закона сохранения энергии. Поэтому оно удовлетворяется для операторов, связанных, например, с колебаниями, при которых не имеет места потеря (диссипация) энергии.
Большинство операторов, встречающихся в квантовой механике, также являются самосопряженными.
Проверим, что интегральный оператор с симметрическим ядром к(х,у)
является самосопряженным. Действительно, в этом случае Afl есть функ-
