Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
В дальнейшем развитии теории операторов существеннейшим этапом явилась квантовая механика, широко использующая методы теории операторов. Основным математическим аппаратом квантовой механики и является теория так называемых самосопряженных операторов. Постановка математических задач, возникающих в квантовой механике, явилась и является важнейшим стимулом для дальнейшего развития функционального анализа.
Операторная точка зрения на дифференциальные и интегральные уравнения оказалась чрезвычайно полезной также для развития практических приближенных методов решения этих уравнений.
Основные понятия теории операторов. Перейдем к изложению основных определений и фактов, относящихся к теории операторов.
В анализе мы уже встречались с понятием функции. В простейшем виде это было соответствие, которое каждому числу X (значению независимой переменной) ставило в соответствие число у (значение функции). При дальнейшем развитии анализа возникла потребность в рассмотрении соответствий более общего типа.
Такие более общие соответствия рассматриваются, например, в вариационном исчислении (том 2, глава VIII), где каждой функции сопоставляется число. Если каждой функции ставится в соответствие число, то мы говорим, что нам задан функционал. Примером функционала может служить сопоставление каждой функции y = f(x) (a ^x ^b) длины дуги изображаемой ею кривой. Мы получим другой
пример функционала, если каждой функции y = f(x) (a ^x^b) поста-• о
вим в соответствие ее определенный интеграл J f{x)dx.
а
Если считать f(x) точкой бесконечномерного пространства, то функционал есть не что иное, как функция от точки бесконечномерного пространства. С этой точки зрения в вариационном исчислении изучаются задачи об отыскании максимумов и минимумов функции от точки бесконечномерного пространства.
Для того чтобы определить, что означает непрерывный функционал, нужно определить, что означает близость двух точек бесконечномерного пространства. В § 2 мы задавали расстояние между двумя функциями [точками бесконечномерного пространства f(x) и g{x)] как
I/ If (х) — g(x)\2dx. Такой способ задания расстояния в бесконечно- § 5. Линейные операторы
239
мерном пространстве часто употребляется, но не является, конечно, единственно возможным. В других вопросах могут оказаться лучшими другие способы задания расстояния между функциями. Укажем, например, на задачи теории приближения функций (см. том 2, главу XII, § 3), где расстояние между функциями, характеризующее меру близости двух функций f(x) и g(х), задаетср, например, формулой
max \ f(x) — g(x) \.
Другие способы задания расстояния между функциями употребляются при изучении функционалов в вариационном исчислении.
Различные способы задания расстояния между функциями приводят нас к различным бесконечномерным пространствам.
Таким образом, разные бесконечномерные (функциональные) пространства различаются между собой запасом функций и определением расстояния между ними. Так, например, если взять совокупность всех функций с интегрируемым квадратом и определить расстояние как
/Т~--
~|/ If (х)—g(x)]2dx, то мы придем к введенному в § 2 гильбертову
пространству; если же взять совокупность всех непрерывных функций и определить расстояние как max|/(a;) — g(x) |, то мы получим так называемое пространство (С).
При рассмотрении интегральных уравнений мы сталкиваемся с выражениями вида
ь
g(x)=\k{x, y)f(y) dy.
а
При заданном ядре к (х, у) написанное равенство указывает закон, по которому каждой функции f(x) ставится в соответствие другая функция g (х).
Такого рода соответствие, относящее одной функции / другую функцию g, называется оператором.
Будем говорить, что нам задан линейный оператор А в гильбертовом пространстве, если дан закон, по которому каждой функции / ставится в соответствие функция g. Соответствие может быть задано и не для всех функций гильбертова пространства. В этом случае множество тех функций /, для которых существует функция g=Af, называется областью определения оператора А (аналогично области задания функции в обычном анализе). Само соответствие обозначается обычно так:
S = Af-
(30) 240
Глава JLlJL. Функциональный анализ
Линейность оператора означает, что сумме функций /, и /2 ставится в соответствие сумма Af1 и Af2, а произведению функции / на число X ставится в соответствие функция IAf, т. е.
A(f,+^ = Af1 +Af2 (31)
и
A(If) = IAf. (32)
Иногда от линейных операторов требуют также непрерывности, т. е. требуют, чтобы при сходимости последовательности функций /я к функции / последовательность Afn сходилась к функции Af.
Приведем примеры линейных операторов.
1°. Поставим в соответствие каждой функции f(x) функцию g(x) =
X
= j f(t)dt, т. е. неопределенный интеграл от функции /. Линейность
а
этого оператора вытекает из обычных свойств интеграла, т. е. из того, что интеграл от суммы равен сумме интегралов и постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.
2°. Поставим в соответствие каждой дифференцируемой функции f (х) ее производную f (х). Этот оператор обозначается обычно буквой D, т. е.
