Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Если для некоторого значения X однородное уравнение имеет решение /(х), не равное тождественно нулю, то это значение X называется собственным значением, а соответствующее решение f(x) — собственной функцией. Мы видели выше, что когда интегральное уравнение описывает свободное колебание упругой системы, то собственные значения тесно связаны о частотами колебаний системы (а именно X = pto2). Собственные же функции задают форму соответствующих гармонических колебаний.236
Глава JLlJL. Функциональный анализ
Для задачи о колебаниях из закона сохранения энергии следовало,
что
k(x, у) = к(у, х). (28)
Ядро, удовлетворяющее условию (28), называется симметрическим.
Для уравнения с симметрическим ядром собственные функции и собственные значения обладают рядом важных свойств. Оказывается, что у такого уравнения всегда существует последовательность действительных собственных значений
X1, Xo, ..., .. .
Каждому собственному значению отвечает одна или несколько собственных функций. При этом собственные функции, отвечающие различным собственным значениям, всегда ортогональны между собою1.
Таким образом, для всякого интегрального уравнения с симметрическим ядром система собственных функций есть ортогональная система функций. Возникает вопрос о том, когда эта система полна, т. е. когда можно всякую функцию из гильбертова пространства разложить в ряд по системе собственных функций интегрального уравнения. В частности, если уравнение
ь
\k{x,y)f{y)dy = Q (29)
а
удовлетворяется лишь при f(y)^ 0, то система собственных функций интегрального уравнения
ь
k(x, y)f(y)dy = f(x)
а
является полной ортогональной системой2.
Таким образом, всякую функцию f(x) с интегрируемым квадратом можно в этом случае разложить в ряд по собственным функциям. Рассматривая те или иные интегральные уравнения, мы получаем общий
1 Это последнее утверждение будет доказано в следующем параграфе (стр. 243).
2 В том случае, когда k (х, у) есть функция влияния для упругой системы, условие (29) приобретает простой физический смысл. В самом деле [см. формулу (23)], мы видели, что под действием распределенной вдоль системы силы / (у) отклонение системы от положения равновесия выражается формулой
ь
и (х) = j к (х, у) f (у) dy. Таким образом, условие (29) означает, что всякая отлич-
а
ная от нуля сила выводит систему из положения равновесия.237
и сильный метод для доказательства замкнутости различных важных ортогональных систем, т. е. разложимости функций в ряд по ортогональным функциям. Этим методом можно доказать полноту системы тригонометрических функций, цилиндрических функций, сферических функций и многих других важных систем функций.
То обстоятельство, что произвольную функцию можно разложить в ряд по собственным функциям, в случае колебаний означает, что любое колебание может быть разложено на сумму гармонических. Такое разложение представляет собой метод, широко применяемый при решении задач о колебаниях в различных областях механики и физики (колебания упругих тел, акустические колебания, электромагнитные волны и т. д.).
Развитие теории линейных интегральных уравнений явилось толчком для создания общей теории линейных операторов, в которую теория линейных интегральных уравнений органически входит. В последние несколько десятилетий общие методы теории линейных операторов сильно способствовали дальнейшему развитию теории интегральных уравнений.
§ 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
В предыдущем параграфе мы видели, что задачи о колебаниях упругой системы приводятся к вопросу о разыскании собственных значений и собственных функций интегральных уравнений. Заметим, что эти задачи можно также свести к отысканию собственных значений и собственных функций линейных дифференциальных уравнений1. К задачам вычисления собственных значений и собственных функций линейных дифференциальных или интегральных уравнений сводятся и многие другие физические задачи.
Укажем еще один пример. В современной радиотехнике широко используются для передачи электромагнитных колебаний высоких частот так называемые волноводы, т. е. полые металлические трубы, внутри которых распространяются электромагнитные волны. Известно, что по волноводам могут распространяться электромагнитные колебания не слишком большой длины волны. Отыскание критической длины волны сводится к задаче на собственные значения некоторого дифференциального уравнения.
Кроме того, задачи на собственные значения встречаются в линейной алгебре, в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, в задачах на устойчивость и т. д.
Возникла необходимость в рассмотрении всех этих сходных между собой вопросов с единой общей точки зрения. Такой точкой зрения
1 См. том 2, главу VI, § 5.238
Глава JLlJL. Функциональный анализ
явилась общая теория линейных операторов. Многие вопросы, относящиеся к собственным функциям и собственным значениям в различных конкретных задачах, удалось понять до конца только в свете общей теории операторов. Таким образом, в этом и ряде других направлений общая теория операторов сама оказалась весьма плодотворным орудием исследования в породивших ее областях.