Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Il
Yi X (1-у), при х<у, ^2/(*-ж)> при ж>2Л
совпадающей с выведенной нами функцией влияния для стержня.
Через функцию влияния можно выразить отклонение системы от положения равновесия для того случая, когда на нее действует непрерывно распределенная сила с плотностью f(y). Так как на интервал длины Ду действует сила f(y)\y, которую мы приближенно можем считать сосредоточенной в точке у, то под действием этой силы B точке X возникает отклонение к(х, у) f(y) Ду. Отклонение под действием всей нагрузки будет приближенно равно сумме
^ik (х, y)f{y) Дг/. § 4. Интегральные уравнения
233
Переходя к пределу при Ay-*0, получаем, что отклонение и (х) в точке X под действием силы / (у), распределенной вдоль системы, задается формулой
ij
и{х) = \к(х, y)f(y)dy. (23)
а
Предположим, что наша упругая система не подвержена действию внешних сил. Если вывести ее из положения равновесия, то она придет в движение. Эти движения называются свободными колебаниями системы.
Напишем теперь при помощи функции влияния к (х, у) уравнение, которому подчиняются свободные колебания рассматриваемой упругой системы. Для этого обозначим через и (х, I) отклонение от положения равновесия в точке х в момент времени t. Тогда ускорение в точке х
O2 и (х, t) в момент t равно —2 .
Если р — линейная плотность тела, т. е. р dy — масса элемента длины dy, то по основному закону механики мы получим уравнение движения, заменив в формуле (23) силу f(y)dy произведением массы
<?2 и {у, і) , '
на ускорение —jp—-р dy, взятым с обратным знаком.
Таким образом, уравнение свободных колебаний имеет вид
ь
и (х, O = -J к (х, у) д2 uJf 0 Pdy.
а
Важную роль в теории колебаний играют так называемые гармонические колебания упругой системы, т. е. движения, при которых
и (х, t) = u (х) sin at.
Они характеризуются тем, что каждая фиксированная точка совершает гармонические колебавия (движется по синусоидальному закону) с некоторой частотой о), причем эта частота одна и та же для всех точек х.
Мы увидим дальше, что каждое свободное колебание может быть составлено из гармонических колебаний.
Подставим
и (х, t) = u (х) sin (?>t
в уравнение свободных колебаний и сократим на sin «г. Мы получим тогда следующее уравнение для определения функции и (х)
ь
и (х) = PW2J к (х, у) и {у) dy. (24) 234
Глава JLlJL. Функциональный анализ
Такое уравнение называется однородным интегральным уравнением относительно функции U (X).
Ясно, что уравнение (24) при любом м имеет неинтересное для нас решение и (ж) = 0, отвечающее состоянию покоя. Те значения со, при которых имеются отличные от нуля решения уравнения (24), называются собственными частотами системы.
Так как не при всяком значении со имеются отличные от нуля решения, система может совершать свободные колебания лишь с определенными частотами. Наименьшая из них называется основным тоном системы, а остальные — обертонами.
Оказывается, что у каждой системы существует бесконечная последовательность собственных частот, так называемый спектр частот
(Oj, й>2, . . . , (дп, ...
Ненулевое решение и„ (х) уравнения (24), отвечающее собственной частоте и>„, задает нам форму соответствующего собственного колебания.
Так, например, если упругая система представляет собой струну, натянутую между точками О и I и закрепленную в этих точках, то возможные частоты собственных колебаний для такой системы равны
TT п TC 0 ТГ 7Г
а — , za-j- , оа у , ..., па -у, ...,
где а — коэффициент, зависящий от плотности и натяжения струны, а именно а= у — . Основным тоном является здесь M1 = Oyf а обер- § 4. Интегральные уравнения
235
тонами (02 = 2(^, W3 = Sm1, ..., Mn = Zito1. Формы соответствующих гармонических колебаний задаются равенствами
, ч . пап Un (X) = sln —j— X
и имеют вид, изображенный для « = 1, 2, 3, 4 на рис. 10.
Мы рассматривали свободные колебания упругих систем. Если же во время движения на упругую систему действует гармоническая внешняя сила, то, определяя гармонические колебания под действием этой силы, мы придем для функции и (х) к так называемому неоднородному интегральном}' уравнению
6
и(х) = ?ч>2 j к(х, y)u(y)dy-]r h(x). (25)
а
Свойства интегральных уравнений. Выше мы познакомились с примерами интегральных уравнений
б
f(x) = ljk(x,y)f(y)dy (26)
ч
и
h
f(x) = \\k{x, y)fu)dy + h{x), (27)
а
из которых первое получилось при решении задачи о свободных колебаниях упругой системы, а второе — при рассмотрении вынужденных колебаний, т. е. колебаний под воздействием внешней силы.
Неизвестной функцией в этих уравнениях является функция f(x). Заданная функция к(х, у) называется ядром интегрального уравнения.
Уравнение (27) называется неоднородным линейным интегральным уравнением, а уравнение (26) — однородным. Оно получается из неоднородного при h(x) = 0.
Ясно, что однородное уравнение всегда имеет нулевое решение, т. е. решение f(x) = 0. Между решениями неоднородного и однородного интегральных уравнений существует тесная связь. Укажем для примера на следующую теорему: если однородное интегральное уравнение имеет лишь нулевое решение, то соответствующее неоднородное уравнение разрешимо для всякой функции h (х).
