Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Александров А.Д. -> "Математика ее содержание, методы и значение Том 2" -> 81

Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.

Александров А.Д. Математика ее содержание, методы и значение Том 2 — Москва, 1956. — 397 c.
Скачать (прямая ссылка): matemateesoderjaniemetodiiznachenie1956.djvu
Предыдущая << 1 .. 75 76 77 78 79 80 < 81 > 82 83 84 85 86 87 .. 157 >> Следующая


ср (?) уже всюду дифференцируема, и по-IrptS." v\ этому

J9 (О ^C = O- (41)

гр

Но контур Гр разбивается на четыре части: С, у , К? и у , поэтому на основании свойства 3° интеграла будем иметь

[?kk=J?KK+J?KK+ J?KK+J?KK=O.

rP 0 ''P к\ Tp

Заменяя интегралы по K0 и ур интегралами по Kf и у, и пользуясь свойством 4°, получим

J ? (0 = J 9 (Г) dl - [ ? СО dl = 0,

что доказывает формулу (40).

Чтобы вычислить правую часть (40), положим

I 9KK= f m^zfI- * + =

k0 ігр k9 а'р

= 1^^ + /(1)(^. (42)

Вычислим прежде всего второе слагаемое. На окружности К

I = zр (cos 0 —I— і sin S). Имея в виду, что гир постоянны, получим

dQ = P (—sin 6 + і cos 6) db = гр (cos 6 + і si n ?) db, и, кроме ТОГО,

I — Z = P (cos 6 і sin 6), § 4. Криволинейный интеграл

207

поэтому

dZ



так как при обходе окружности полное изменение 6 равно 2тт. На основании (40) и (42)

I^f = 2 wi/(,)+j'JO=M

A.



В полученном равенстве мы перейдем к пределу при р—>0. Левая часть и первое слагаемое правой части при этом будут оставаться неизменными. Мы докажем, что предел второго слагаемого равен нулю. Тогда при р-V 0 наше равенство приведет нас к формуле Коши. Чтобы доказать, что второе слагаемое стремится к нулю, когда р—>0, заметим, что

IimiI=M = Z-K),

с-** (,-Z

т. е. подинтегральное выражение имеет конечный предел и, следовательно, ограничено

І /«)-/(*) I C-*

<м.

Применение свойства 5° интеграла дает

f n\z!!z) к

<Л/ 2тгр-^0.

Это завершает доказательство формулы Коши. Формула Коши является одним из основных средств исследования в теории функций комплексного переменного.

Разложимость дифференцируемых функций в степенной ряд. Применим теорему Коши для установления двух основных свойств дифференцируемых функций комплексного переменного.

Всякая функция комплексного переменного, имеющая первую производную в области D, имеет производные всех порядков.

В самом деле, внутри замкнутого контура наша функция выражается интегралом Коши

с

Под знаком интеграла cic^ дифференцируемая функция z; поэтому, производя дифференцирование под знаком интеграла,1 получим

- /w-jbJA«-

с 208

Глава IX. Функции комплексного переменного

Под знаком интеграла снова стоит дифференцируемая функция, поэтому мы можем снова дифференцировать, тогда

С

Продолжая дифференцировать, мы получим общую формулу

/О Ы-JtL f ^

Таким образом мы можем вычислить производную любого порядка. Чтобы сделать это доказательство вполне строгим, надо было бы еще доказать, что дифференцирование под знаком интеграла законно. Мы не будем останавливаться на этой части доказательства.

Второе основное свойство следующее:

Если f(z) везде дифференцируема в круге К с центром в точке а, то f(z) разлагается в степенной ряд Тейлора

/(2)=/(а) + ф(2-а)+ . . . . . .,

сходящийся внутри К.

Мы определили в § 1 аналитические функции комплексного переменного как функции, разлагающиеся в степенной ряд. Последняя теорема говорит о том, что всякая дифференцируемая функция комплексного переменного есть аналитическая функция. Это есть специфическое свойство функций комплексного переменного, не имеющее себе аналога в действительной области. Функция действительного переменного, имеющая первую производную, может уже не иметь ни в одной точке производной 2-го порядка.

Докажем сформулированную выше теорему.

Пусть f(z) имеет производную внутри и на границе круга К с центром в точке а. Тогда внутри К функция /(z) выражается интегралом Коши

I^m- <«>.

с

Напишем

тогда

-2 = (С — a) — (z — а), 1 1

S — г (С — а) — (г — а) І — а __ z—a

(44)

Имея в виду, что точка z лежит внутри круга, а 'С — на окружности, получим

<1. § 4. Криволинейный интеграл

209

поэтому на основании формулы для геометрической прогрессии

^=1+6=3+...+6=3'+"- <«>

? —а

причем стоящий справа ряд сходится. Используя (44) и (45), мы можем формулу (43) представить в виде

tW<= в J Гт<?"+ -'»> +-+<—• >" +...]<•

с

Мы применим теперь к ряду, стоящему в скобках, почленное интегрирование. Законность этого можно строго обосновать. Тогда получим, вынося в каждом члене не зависящие от ? множители (z— а)" за знак интеграла

If/(0 Iz-aI' /(O^ і і (»-«О-Г /(O^ і ' W 2тг1 J і; — а і" 2ТГІ J (5 — а)2 ~Т~ • • • T 2тгі J (і; — а)»+і і" ' ' '

со с

Используя теперь интегральные формулы для последовательных производных, можем написать

1 Г /«)*% _/""(«) 2itt J (;_e)"+i и! '

с

тогда получаем

Мы доказали, что дифференцируемые функции комплексного переменного разлагаются в степенной ряд. Обратно: функции, представляемые степенными рядами, дифференцируемы. Их производные могут быть получены почленным дифференцированием ряда (законность этой операции может быть строго обоснована).

Целые функции. Степенной ряд дает аналитическое представление функции лишь в некотором круге. Этот круг имеет радиус, равный расстоянию до ближайшей точки, в которой функция теряет аналитичность,— особой точки функции.
Предыдущая << 1 .. 75 76 77 78 79 80 < 81 > 82 83 84 85 86 87 .. 157 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed