Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
203
и функцию f(z), заданную в области, содержащей дугу С. Разобьем дугу С на малые части точками (рис. 18)
Zn, Z,, . . . , Zn ¦
и рассмотрим сумму
s= "У. / (?) (Zfr--Z»_,).
Jr=I
Если функция /(z) непрерывна, а дуга С имеет конечную длину, то аналогично тому, как для действительных функций, устанавливается, что при увеличении числа точек деления п так, чтобы максимальное расстояние между соседними точками деления стремилось к нулю, сумма S имеет вполне определенный предел. Этот предел называется интегралом вдоль дуги С и обозначается через
J/(Z) dz.
Рис. 18.
Заметим, что при определении интеграла мы выбрали начало и конец линии С или, другими словами, выбрали определенное направление движения по линии С.
Легко доказать ряд простых свойств интеграла.
1° Интеграл суммы двух функций равен сумме интегралов слагаемых функций:
{[f(z)-\-g(z)\dz = [ /(z)rfz-f J'g (z) dz.
2° Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
\ Af (z) dz= A^f (z) dz.
с с
3° Если дуга С есть сумма дуг C1 и C2, то
f /(Z) dz= \f(z)dz+\f(z)dz.
C <\ 6'2
4° Если С —дуга С, проходимая в обратном направлении, то \f(z)dz = -\f(z)dz.
Все эти свойства очевидны для суммы S и получаются для интегралов предельным переходом.
5°' Если длина дуги С равна L и на дуге С выполняется неравенство
\f(z)\<M, ¦204
Глава IX. Функции комплексного переменного
XO
а
[ / (z) dz ! < ML.
Докажем это свойство. Неравенство достаточно доказать для интегральных сумм S, так как тогда оно останется верным в пределе и для интегралов. Для интегральной суммы
і ^ = 12/(?) (?-1?-\<M*2i\zk—«»-і і •
Ho стоящая вторым множителем сумма равна сумме длин звеньев ломаной линии, вписанной в дугу С, с вершинами в точках Zlc. Длина ломаной, как известно, не больше длины кривой, поэтому
Рассмотрим интеграл от простейшей функции /(z) = l. Очевидно в этом случае
s = izl- z0) + (Z2-z1)+ . . . + (zn-z^1) = Zn-Z0 = Z-Zr Это доказывает, что
Полученный результат показывает, что для функции /(z) = l значение интеграла для всех дуг, соединяющих точки Z0 и z, одно и то же. Другими словами, значение интеграла зависит только от начальной и конечной точки пути интегрирования. Однако легко убедиться, что это свойство не имеет места для произвольных функций комплексного переменного. Например, если f(z) = x, то простые вычисления показывают, что
где C1 и С., — пути интегрирования, изображенные на рис. 19.
Предоставим читателю установить эти равенства.
Замечательным фактом теории аналитических функций является следующая теорема Коши.
Если /(z) дифференцируема в каждой точке односвязной области D. го интегралы по всем дугам, соединяющим две произвольные точки области Z0 и z, совпадают.
Мы не будем здесь приводить доказательства теоремы Коши, отсылая интересующихся к любому курсу теории функций комплексного переменного. Приведем здесь только важные следствия этой теоремы.
! S |< ЛЯ,.
G
х- , -
= J , Z = X-JtIy, § 4. Криволинейный интеграл
205
Прежде всего теорема Коши позволяет ввести неопределенный интеграл от аналитической функции. В самом деле, зафиксируем точку Z0 и рассмотрим интеграл по линии, соединяющей z0 и z:
F(z) = \f(Qdl.
(x+iy)
Рис. 19.
При этом можно вести интегрирование по любой линии, соединяющей z0 и z, так как от изменения линии величина интеграла не меняется и, следовательно, зависит только от z. Функция F(Z) называется неопределенным интегралом от /(z).
Неопределенный интеграл от /(z) имеет производную, равную/(z).
Во многих приложениях удобно иметь несколько иную эквивалентную формулировку теоремы Коши.
Если f (г) всюду дифференцируема в односвязной области, то интеграл по любому замкнутому контуру, лежащему в этой области, обращается в нуль:
[ / (z) dz = 0.
Это очевидно, так как замкнутый контур имеет совпадающие начало и конец, и, следовательно, z0 и z можно соединить нулевым путем.
В дальнейшем под замкнутым контуром будем понимать контур, проходимый в направлении против часовой стрелки. Если контур проходится по часовой стрелке, мы его будем обозначать Г.
Интеграл Коши. Сказанное выше позволяет вывести следующую фундаментальную формулу Коши, дающую выражение для дифференцируемой функции во внутренних точках замкнутого контура черев значения функции на самом контуре
1 .7 (CMC
2т) X, — z
Дадим доказательство этой формулы. Пусть z фиксировано, а ? зависимое переменное. Функция
¦ не-
¦(0 =
/К)
будет непрерывна и дифференцируема в каждой точке 'С, внутри области D, за исключением точки ? = z, где знаменатель обращается в нуль. Это обстоятельство не позволяет применить теорему Коши к функции ъ(С) и контуру С. ¦206
Глава IX. Функции комплексного переменного
Рассмотрим окружность Kf с центром в точке z и радиусом р и покажем, что
JfKK= J ?КК. (40)
с
Для этого построим вспомогательный замкнутый контур Гр, состоящий из контура С, дуги у , соединяющий С и окружность, и окружности Kf, проходимой в обратном направлении (рис. 20). Контур Гр показан стрелками. Так как из Гр точка 'c = z выключена, внутри Гр функция
