Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Будем искатт, теперь общее решение уравнения (26).
Заметим, что сумма решений неоднородного уравнения и соотве*-ствующего ему однородного уравнения есть также решение неоднородного линейного уравнения. Поэтому, чтобы найти общее решение уравнения (26), достаточно знать одно какое-либо частное решение этого уравнения. Общее решение уравнения (26) представится в виде суммы этого частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения.
2* 20
Естественно ожидать, что движение следует за периодической внешней силой в том же ритме, и искать частное решение уравнения (26) в виде X-=B cos (mZ -j- S), где В и 8 — некоторые числа. Попытаемся определить В и 8 так, чтобы функция х = В cos (мі -j- U) удовлетворяла.
уравнению (26). Вычисляя производиыо =-Во) Siu (wZ -f В) И
—?o)2 cos (w/-(-") w подставляя результаты в уравнение (26), получим
т (—Вы2 cos (mZ -f- S)) + а (—Вы sin (wZ -(- ^)) + ЬВ cos (<oZ -f- Н) = A cos <oZ. Используя хорошо известные формулы, имеем В [(Ъ — тог) cos (mZ —f- <>) — ам si н (wZ -f- ^)] =
= B\'(b— mw2)2-j- а2м2 cos (mZ j- S') = A cos mZ,
где S' = S -f- у и у = arctg b ^lnuiI ¦ Очевидно, если мы положим
5 = — arctg-;———3- и B= Л -, то функция x=Bcos(at-\-b)
5 ь — "ш2 — mw2)2 -i- а2„>2 r't v ~г у
будет удовлетворять уравнению (26).
Решение вида І? cos + S) существует всегда, если (Ь—тим2)2 -J--f-a2M2T^0. В случае, когда (b — ma2)2 -j- A2 = 0, т. е. когда a = O и
6 = ты2, уравнение (26) имеет вид
d'^x ,ал
m J-S- -4- ты*х = A cos wZ.
dt2 1
Частным решением в этом случае, как легко проверить, будет функция At . .
X = -Sin Ш,
, 2 V^mfc
' Решения неоднородного уравнения (26) будем называть вынужден-
1
ными колебаниями. Множитель <р(ы)= характеризует
— mo)2)2 -)- а2о)2
амплитуду В найденного нами вынужденного колебания по отношению к амплитуде А возмущающей силы. Кривая, изображающая функцию <р(м), называется кривой резонанса. Частота м, при которой <р(м) достигает наибольшего значения, называется частотой резонанса. Найдем ее. Если наибольшее значение функция 9 (м) принимает при м, ^= О, то при этом значении ы производная 9'(ы) обращается в нуль, т. е.
—4(b — mwi) mw, -(- 2а2<»: = 0, и, следовательно, M1 = у ——^I • ПРИ атом значении W1
1 21
Отсюда видно, что амплитуда вынужденного колебания при Ia = W1 тем больше, чем меньше а. При малых а частота со, близка к значению
, т. е. к частоте свободных колебаний. При а = 0 и b = ma>2, как мы видели, вынужденное колебание имеет вид
At . .
X =—-=-sin wZ, 2 у/тЬ
т. е. амплитуда этого колебания неограниченно растет при Z->oo. Это явление называется в математике резонансом. Резонанс наступает, если период внешней силы совпадает с периодом собственных колебаний1 системы. В действительности в случаях близости периода внешней силы и периода собственных колебаний размах колебаний системы может стать весг.ма большим.
Возможностью возникновения больших колебаний в системе часто, пользуются для создания различного рода усилителей, например в радиотехнике. Но большие колебания могут также приводить к разрушению конструкций, например мостов и перекрытий сооружений. Поэтому так важно предусмотреть возможность наступления резонанса, или близких к нему колебаний. . (
Согласно сделанному ранее замечанию, любое решение уравнений (26) представится в виде суммы найденного нами вынужденного колебания и одного из решений однородного уравнения, представленного формулами (20), (21), (23). При О и О решения однородного уравнения стремятся к нулю при Z-> оо, т. е. любое движение с течением времени приближается к найденным нами вынужденным колебаниям. Если S = O и 6>0, то вынужденное колебание накладывается на незатухающие собственные колебания системы. При Ь = тч>2 и а = 0 наступает резонанс.
Если на систему действует некоторая внешняя периодическая сила /(Z), то вынужденные колебания системы можно найти следующим образом. Представляем /(Z) с достаточной точностью в виде отрезка,
тригонометрического ряда1
«
2 (а,- cos сo,Z -f- bi sin CoiZ). . (27)
>=i
Находим вынужденные колебания, соответствующие каждому слагаемому этой суммы. Вынужденное колебание, соответствующее силе /(Z), получается наложением колебаний, соответствующих отдельным слагаемым суммы (27). Если какая-нибудь из частот coj- совпадает с частотой собственных колебаний системы, то наступает резонанс.
1 См. главу XII, § 7. 22 |
Глава V. Обыкновенные дифференциальные уравнения
§ 3. НЕСКОЛЬКО ОБЩИХ ЗАМЕЧАНИЙ О РЕШЕНИИ И СОСТАВЛЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Дифференциальных уравнений, все решения которых явно выражаются через простейшие функции, как это имеет место для линейных уравнений с постоянными коэффициентами, немного. Можно привести простые примеры дифференциальных уравнений, общее решение которых не может быть выражено с помощью конечного числа интегралов от известных функций или, как говорят, не может быть выражено в квадратурах.
Так, еще в 1841 г. Лиувилль показал, что решение уравнения Рик-
