Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
' См. главу IV (том 1), § 3. § 3. Связь с геометрией
195
Если C1 и C2-—две линии, выходящие из точки z, a J11 и Г2 — соответствующие линии, выходящие из точки w, то угол, составляемый T1 и Г2 в точке w, равен углу, составляемому C1 и C2 в точке z.
Таким образом, при отображении, реализуемом аналитической функцией в каждой точке, где /'(z)=?0, все линейные элементы растягиваются в одном и том же отношении, а углы между соответствующими направлениями не меняются.
Отображения, обладающие указанными свойствами, носят название конформных отображений.
Из доказанных геометрических свойств отображений вблизи точки, в которой /'(z0)=?0, естественно ожидать, что в некоторой малой окрестности Z0 отображение будет взаимно однозначным, т. е. не только каждой точке z будет соответствовать лишь одна точка w, но и обратно: каждая точка w будет образом только одной точки z. Это действительно может быть строго доказано.
Для того чтобы полнее представить себе, как выделяются конформные отображения среди различных других отображений, полезно рассмотреть любое отображение в малой окрестности некоторой точки. Если рассмотрим главные члены разложения функций и и v, реализующих отображение, в ряд Тейлора, то получим
в - bO = (S)0^ - + (SJo^-^+--
- "¦> = (Ё)„ (х - + ©о (V-Vo)+
Если в малой окрестности точки х0, у0 пренебречь членами высшего порядка, то наше отображение будет вести себя, как аффинное отображение. Это отображение будет обратимо, если его определитель отличен от нуля
Если Д = 0, то для представления о поведении отображения вблизи точки (х0, у0) нужно рассматривать члены высших порядков1. ,.
В случае, когда u + iv есть аналитическая функция,... мы можем производные по у выразить, пользуясь условиями Копія—Римана, через производные по х, и тогда получим
Л = {dijo + Ыо = I ^ ('te)o І ~ I8' ,
1 В последнем случае, т. е. при Д = О, отображение уже не называют аффин-
ным. Об аффинных отображениях см. также глав у III (том 1), § 11.
13* ¦196
Глава IX. Функции комплексного переменного
т. е. отображение обратимо, когда /'(Z0)=^=O. Если положим /'(z0) = = r(cos<p +г sin cp), то
(S)0=(?)*='0°8*'
/ди\ fdv\
и отображение вблизи точки (z0, у0) имеет вид
ц —и0 = г[(х —z0)cos<p —(у—j/0)sin<p] + . . V — Щ = г[(х — z0) sin <р + (г/— ?/0)cos<p] + . . .
Эти формулы показывают, что в случае аналитической функции w = = u-\-iv отображение вблизи точки (х0, у0) сводится к повороту на угол <р и растяжению с коэффициентом г. В самом деле, выражения, стоящие в скобках, есть известные из аналитической геометрии формулы поворота плоскости на угол о, а умножение на г дает растяжение в г раз.
Для того чтобы представить себе, что может произойти с отображением в точках, в которых /'(z) = 0, полезно рассмотреть функцию
W = Zn. (37)
Производная этой функции W1 = Iizn-1 обращается в нуль при Z = 0. Отображение (37) удобнее всего рассмотреть, пользуясь полярными координатами или тригонометрической формой комплексного числа. Пусть
Z = Г (cos rY + і sin <р),
м> = р (cos 0 + г sin 0).
Имея в виду, что при умножении комплексных чисел модули перемножаются, а аргументы складываются, получим
zn = rn (cos по + і sin т),
и поэтому
P='-". 6 = щ.
Из последней формулы МЫ ВИДИМ, ЧТО луч Ip = Const плоскости z перейдет на плоскости w в луч 6 = и<р = const. Следовательно, угол между двумя лучами величины а на плоскости z будет переходить в угол величины ? = raa. Отображение плоскости z на плоскость w уже перестанет быть однозначным. В самом деле, если задана точка w с модулем р и аргументом 6, то она может быть получена как образ п точек с модулем г=Vp и аргументами
б Є , 2тг 0 , 2-к . ,.
<р = — ,--------(л — !)•
« га ' я 1 я ' ' л. 1 и v ' § 3. Связь с геометрией
197
При возведении в степень п модули соответствующих точек . будут равны р, а аргументы будут равны
6, 0-f 2п, . . ., 0 + 2я (я — 1), и так как прибавление к аргументу величин, кратных не меняет геометрического HonoHteiiHHj точки, все образы на плоскости w совпадут.
Конформные отображения. Если аналитическая функция w = f(z) переводит взаимно однозначно область D плоскости z в область Д плоскости w, то говорят, что опа осуществляет конформное отображение области D на область Д.
Роль конформных отображений в теории функций и ее приложениях определяется следующей почти тривиальной теоремой.
Если ^ = /' (го) — аналитическая функция в области Д, то сложная функция F[f(z)\ есть аналитическая функция в области D. Теорема эта вытекает из равенства
Д?_Д? Дw
Дz Дw ' Az
Рис. 15.
Имея в виду, что функции r = F(w) и w = f(z) анайитичеекие, заключаем, что оба множителя правой части имеют пределы, а следовательно, в каждой точке z области D отношение ^ имеет однозначный
JW
предел Это доказывает аналитичность функции = [/(z)]„,
Доказанная теорема показывает, что изучение аналитических функций в области Д может быть сведено к изучению аналитических функций в области D. Если геометрическая структура области D проще, то этим упрощается изучение фуякции.
