Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Основные идеи теории крыла самолета. Теорема Жуковского. Применение теории функций комплексного переменного к изучению плоскопараллельных течений жидкости привело Н. Е. Жуковского и С. А. Чаплыгина к замечательным открытиям в аэродинамике. Изучение обтекания тел привело их к открытию закона образования подъемной силы крыла самолета. Чтобы дать представление о ходе идей, приведших к этому открытию, нам надо будет рассмотреть еще один конкретный пример течения жидкости. Рассмотрим характеристическую функцию
w ¦
2тxi
-. Ln Zt
где Г — действительная постоянная. Хотя функция w неоднозначная функция, ее производная
dw_ Г 1
dz ' 2чп z
(32)
однозначна, и, следовательно, наша функция определяет однозначно поле скоростей некоторого течения жидкости. Полагая z = re'®, потенциал скоростей и функцию тока можно вычислить при помощи формулы (25)
2-к
6, ф = -?іпг. ¦190
Глава IX. Функции комплексного переменного
Вторая из этих формул показывает, что линии тока суть круги Г = COnst (рис. 10).
Скорость течения определяется формулой (29)
I- I1 1
U +IVz--S-T- .
1 2т z
В частности, отсюда следует, что величина вектора скорости будет
ІП 1
V = I и + iv I
2ъ г
т. е. скорость постоянна на каждой линии тока. Более подробное исследование показывает, что течение идет против часовой стрелки Рис. 10. при Г>0 и по часовой стрелке при Г<0.
Если мы одну из линий тока заменим твердой границей, то получим круговое движение жидкости около цилиндра. Такое движение называется циркуляционным.
Потенциал нашего движения уже не будет однозначной функцией. При обходе по замкнутому контуру около цилиндра потенциал изменяется на величину Г. Это изменение потенциала носит название циркуляции течения.
Если мы к характеристической функции течения, обтекающего цилиндр (31), прибавим характеристическую функцию циркуляционного течения (с обходом по часовой стрелке), то получим новую характеристическую функцию
w = a (z + ^)—і Lnz. (33)
Эта характеристическая функция тоже представляет течение около цилиндра радиуса R. В самом деле, функция тока будет постоянна на окружности радиуса R, так как постоянны коэффициенты мнимых частей обоих слагаемых на этой окружности. Скорость течения, определяемого функцией (33), будет снова стремиться к а при z-> оо. Это показывает, что характеристическая функция (33) при любом значении Г определяет обтекание цилиндра поступательным потоком. На рис. 11 изображен характер этого течения при Г > 0. Это течение уже не будет симметричным, и точки а и Ъ натекания и схода струй с цилиндра сместятся вниз. Потенциал рассматриваемого течения будет неоднозначной функцией. Его изменение при обходе около цилиндра будет равно Г.
При обтекании цилиндра, вследствие симметрии, будет обычно реализоваться симметричное течение, определяемое функцией (32), но для других несимметричных тел, оказывается, как правило, реализуются течения с неоднозначным потенциалом. Ниже мы поясним физические основания этого факта. Методы теории функций комплексного переменного позволяют определить возможные течения около тел любой формы. § 2. Связь с задачами математической физики
191
В следующем параграфе мы будем говорить об этих методах. Как около цилиндра, так и около любого тела можно построить течения с однозначным и неоднозначным потенциалом.
При изучении обтекания крыла самолета мы имеем дело с телами, имеющими сзади острую кромку. Профиль крыла самолета всегда заострен сзади. Если для такого профиля построить течение с однозначным потенциалом, то точка схода струи с профиля окажется не совпадающей с острием (рис. 12, а). Оказывается, что такое течение физически невозможно. (При таком обтекании на острие профиля образовались бы бесконечные скорости и бесконечные разрежения.) Течени™ при котором точка b совпадает с острием крыла (рис. 12, б), единственно возможное течение, и это течение будет, как правило, с неоднозначным потенциалом, т. е. будет циркуляционным течением. Циркуляция Г
Рис. 11
Рис. 12.
такого течения опять определяется как изменение потенциала при обходе замкнутого контура около крыла.
Положение о реализуемости течения около профиля крыла со сходом струи с задней кромки носит название постулата Чаплыгина.
Замечательное открытие Н. Е. Жуковского состоит в том, что при наличии циркуляции в потоке возникает подъемная сила, действующая на крыло, направленная перпендикулярно к скорости а набегающего потока и равная по величине
раГ,
а р-роГ
цир-
Рис. 13.
где р — плотность среды, a Г куляция (рис. 13).
Это положение составляет содержание !Георемы ЖуКОВСКОГОІ о подъемной силе крыла, являющейся
основой всей современной аэродинамики. В нашу задачу не входит доказательство теоремы Жуковского, мы заметим только, что общепринятые теперь доказательства ее опираются на теорию интегралов от функций комплексного переменного. ¦192
Глава IX. Функции комплексного переменного
Основы аэродинамики, заложенные в работах Н. Е. Жуковского и С. А. Чаплыгина, получили широкое развитие в работах советских ученых.
