Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Чтобы доказать наше утверждение для любых постоянных коэффициентов т, а, Ь, рассмотрим функцию г/, (I) = X1 (t)e~a{, которая, как легко проверить, также удовлетворяет нулевым начальным условиям. Если величину а^>0 выбрать достаточно большой, то функция yl (Z) будет удовлетворять некоторому уравнению вида (6) при 0, 0, 0. Это уравнение легко получить, подставляя функцию X1(Z) = = ^1(Z) eat и ее производные в уравнение (6). Следовательно, по доказанному выше имеем, что ^1(Z) = O и, значит, х: (1) = уг (Z)e" = 0.
Таким образом, мы доказали, что формулы (20), (21), (23) дают все решения уравнения (6). 2 Математика, т. 2 18 |
Глава V. Обыкновенные дифференциальные уравнения
Посмотрим, что говорят эти формулы о характере решений уравнения (6). Выпишем для этого формулу
(25)
для корней уравнения (19). В соответствии с теми физическими примерами, которые привели нас к уравнению (6), будем считать О,
а> 0, 6> 0.
Случай 1. а2^>46т. Оба корня характеристического уравнения (19) действительны, отрицательны и различны. В этом случае функция x(t), даваемая формулой (20), представляет общее решение урав нения (6). Все даваемые этой формулой функции и их первые производные стремятся к нулю при t -*¦ oo и не больше, чем при одном значении t, обращаются в нуль. Следовательно, функция х (t) имеет не больше одного максимума или минимума. Физически это означает, что сопротивление среды настолько велико, что колебаний не происходит. Движущаяся точка может не больше одного раза перейти через положение равновесия ж = 0. После этого, достигнув некоторого экстремального удаления от точки х = 0, она начнет медленно приближаться к этой точке, никогда не проходя через нее.
Случай 2. а2 = 46т. Оба корня уравнения (19) равны между собой, и общее решение уравнения (6) дается формулой (21). В этом случае опять все решения х (t) и их первые производные стремятся к нулю при t —>¦ —оо. При этом x(t) и а/(Z).не могут обратиться в нуль больше одного раза. Характер движения материальной точки с абсциссой X (t) остается таким же, как и в первом случае.
Случай 3. а2<^4Ьт. Корни характеристического уравнения (19) имеют отличную от нуля мнимую часть. Общее решение уравнения (6) дается формулой (23). Точка х совершает колебания по оси х-ов с неизменным периодом ~, одинаковым для всех решений уравнения (6), и
амплитудой Ceot', где а = —
Колебания физических систем, происходящие без действия внешней силы, называются собственными колебаниями этих систем. Из предыдущего следует, что период таких колебаний для систем, о которых говорилось в разобранных выше примерах 2, 3, 4, 5, зависит только от устройства этих систем. Он одинаков для всех колебаний, могущих
п і о » / Ь а2
возникнуть в этих системах. В примере 2 он равен Itc : 1/ ——
в примере 4 он равен 2% : в примере 5 он равен 2% : ^jjq— jp -
Если а = 0, т. е. если среда не оказывает сопротивления движению, то амплитуда колебаний постоянна: точка совершает гармонические колебания. Если же а> 0, т. е. если среда все же оказывает сопро- § 2. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
19
гивление движению, хотяґ это сопротивление и мало (а2 < 46т), то амплитуда колебаний стремится к нулю, и колебания затухают.
Наконец, решение х (Z) = О уравнения (6) во всех случаях описывает состояние покоя точки х, находящейся все время в положении X = О, которое мы называем точкой равновесия.
Если действительные части обоих корней уравнения (19) отрицательны, то все решения уравнения (6), как видно из формул (20), (21), (23), дающих все решения этого уравнения, при t -> -f- оо стремятся к нулю вместе с их производными, т. е. колебания затухают с течением времени.
Если же действительная часть хотя бы одного из корней уравнения (19) была положительной, то у уравнения (6) были бы решения, не стремящиеся к нулю при Z->-|-со, и тогда некоторые решения уравнения (6) не оставались бы даже ограниченными при Z —-j- со. Такой случай может быть только при отрицательном Ь или отрицательном а, если
0. Физически это соответствовало бы случаям, когда упругая сила не притягивает точку х к положению равновесия, а отталкивает ее от положения равновесия или когда сопротивление среды отрицательно. Такие случаи неосуществимы в тех физических примерах, которые мы рассматривали в начале этой главы, но они вполне осуществимы на других физических моделях.
Если действительная часть корней X1 и X2 уравнения (19) равна нулю, что возможно только тогда, когда коэффициент а в уравнении (19) равен нулю, то точка x(t), как показывает формула (23)( при а = 0 совершает гармонические колебания с ограниченной амплитудой и ограниченной скоро'стью.
Неоднородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Рассмотрим подробно уравнение
т 'Ш^' аШ~і[~ ^x-A cos мі- (26)
Это — уравнение линейных колебаний материальной точки под действием силы упругости, силы сопротивления среды и внешней периодической силы ^coswZ [см. уравнение (6') в § 1].
Уравнение (26) яйляется неоднородным линейным уравнением. Уравнение (6) будет соответствующим ему однородным уравнением.
