booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Александров А.Д. -> "Математика ее содержание, методы и значение Том 2" -> 6

Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.

Александров А.Д. Математика ее содержание, методы и значение Том 2 — Москва, 1956. — 397 c.
Скачать (прямая ссылка): matemateesoderjaniemetodiiznachenie1956.djvuПредыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 10 11 12 .. 157 >> Следующая
15

свободного от неизвестной функции, и неоднородным, если такой член есть.

Однородное линейное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Такое уравнение имеет вид

mS + a5T + te = 0i <6)

где т, а, Ь — постоянны. Будем считать т положительным; это нисколько не ограничивает общности, так как, переменив знак у всех коэффициентов в случае надобности, мы всегда можем придти к этому случаю, если т=^= 0, что мы будем предполагать.

Будем искать решение этого уравнения в виде показательной функции е1 и попытаемся постоянную X подобрать так, чтобы функция

х = еи удовлетворяла уравнению. Подставляя x~ext, = и

—Х2ех< в левую часть уравнения (6), получим

Ji (ml2 + al -f b).

Следовательно, чтобы x(t) = etl было решением уравнения (6), необходимо и достаточно, чтобы

ml2 —(— ал —[— fe = 0. (19)

Если X1 и X2— два действительных корня уравнения (19), то решением уравнения (6), как легко проверить, будет также всякая функция вида

X = C1At+CfV, (20)

где C1 и C2 — любые постоянные величины.

Ниже мы покажем, что формула (20) дает все решения уравнения (6) в случае, если уравнение (19) имеет различные действительные корни.

Отметим следующие важные свойства решений уравнения (6):

1. Сумма двух решений уравнения (6) является также решением этого уравнения.

2. Решение уравнения (6), умноженное на постоянную величину, также является решением этого уравнения.

В случае, если X1— кратный корень уравнения (19), т. е. mX![-|-CiX1-I--)-6 = 0 и 2mlj -j- а == 0то решением уравнения (6) будет также функция tex<1, так как, подставляя эту функцию и ее производные в левую часть уравнения (6), получим

te1'1 (ml2 + Ok1 + Ъ) + еМ (2т\ + а), что тождественно равно нулю в силу указанных равенств.

!.Сумма корней X1 и X2 квадратного уравнения (19) равна X1-I-X2 =--— , и

если корни одинаковы, т. е. X2 = Xr, то отсюда вытекает второе из написанных равенств.16 |

Глава V. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Общее решение уравнения (6) в этом случае имеет вид

ж = C1W + Qex-'. (21)

Пусть теперь уравнение (19) имеет комплексные корни. Эти корни будут комплексно сопряженными, так как т, a, b — действительные числа. Пусть X = а + i?. Уравнение

т (а Jr j?)2 Jr а (а + i?) + Ъ = О

эквивалентно двум равенствам

mot2 —m?2-f аа + 6 = 0 и 2ma?-fa? = 0. (22)

Легко проверить, что в этом случае функции z = eaicos?2 и ® = ea'sin fit являются решениями уравнения (6). Действительно, подставляя, например, функцию X(Z)=CatCOSpf и ее производные в левую часть уравнения (6), получим

ё** cos fit (тх2 — m?2 -f ах + Ь) — еч sin fit (2mxfi + a?).

Это выражение равно тождественно нулю в силу равенств (22).

Общее решение уравнения (6), если уравнение (19) имеет комплексные корни, получим в виде

x = C,esisin?«-f С2е*'cos fit, (23)

где C1 и C2 — любые постоянные.

Таким образом, зная корпи уравнения (19), которое называется характеристическим уравнением, мы можем написать общее решение уравнения (6).

Отметим, что общее решение линейного однородного уравнения п-го порядка с постоянными коэффициентами

d«x . d»~Ijr і . dx , _

a-^ + a»-! ^T+---+aidF +V = O

можно записать аналогичным образом через многочлены, показательные и тригонометрические функции, если известны корни алгебраического уравнения

аяГ + W-1 + ... +«„ = 0,

которое называется характеристическим. Таким образом, задача интегрирования линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами сводится к алгебраической задаче.

Докажем теперь, что формулы (20), (21), (23) действительно дают все решения уравнения (6). Заметим, что C1 и C2 в этих формулах всегда можно выбрать так, чтобы функция х (t) удовлетворяла любым§ 2. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

•__

17

йачальным условиям: X(J0) = X0, ос? (10) = х'0. Для этого C11 и C2 нужно определить из системы уравнений

х0 = C1AiO _[- С2е1'1 о,

ж; = X1C1^i- -t-VV'-A

в случае формулы (20), или из других аналогичных уравнений в случае формул (21) и (23). Следовательно, если бы существовало решение уравнения (6), не содержащееся среди указанных нами решений, то существовало бы два различных решения уравнения (6), удовлетворяющих одним и тем же начальным условиям. Ilx разность X1 (I) была бы отлична от тождественного нуля и удовлетворяла бы нулевы-м начальным условиям x1(Z0) = O, x1(Z0) = O. Покажем, что решением уравнения (6), удовлетворяющим нулевым начальным условиям, будет толыф X1(J) = O. Докажем это сначала в предположении, что т 0, 0, 0. Умножим правую и левую части равенства

-3 + "? +^ = 0 (24)

<1хл г., 0 dx і ^xi d IdxlX2 0 . . dx-, d , 9N

НЭ ~dt ' aK КЭК Ht ' ~dW = dt Ы) И 2^ О -ЗГ = dt Т0 РаВЄН" ство (24) можно представить в виде

Интегрируя это тождество в пределах от J0 до Z, получим

+ 0 = 0.

'о

Это равенство возможно только если X1(Z) = O. Действительно, в противном случае мы имели бы слева, если Z^>Z0, положительную величину, а справа— нуль. Так же можно рассмотреть случай, когда t<^t0.
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 10 11 12 .. 157 >> Следующая