Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Рассматривая планиметрию как внутреннюю геометрию плоскости, нет надобности ограничивать ее школьными рамками. Напротив, ее можно развивать сколь угодно далеко, ставя новые задачи, лишь бы вводимые понятия основывались в конечном счете на измерении длин. Так, в планиметрию последовательно вводятся понятие о длине кривой, понятие площади криволинейных фигур и пр.; все они относятся к внутренней геометрии плоскости.
Те же понятия вводятся во внутренней геометрии произвольной поверхности. Длина кривой является при этом исходным понятием; с углом и площадью дело обстоит несколько сложнее. Если внутренняя геометрия данной поверхности отличается от планиметрии, то мы не можем определять угол и площадь через длины по обычным формулам. Однако, как уже упоминалось, поверхность вблизи данной точки мало отличается от своей касательной плоскости. Говоря точнее, верно следующее: если малый участок поверхности, содержащий данную точку М, спроектировать на касательную плоскость в этой точке, то расстояние между точками, измеренное на поверхности, отличается от расстояния между их проекциями на бесконечно малую величину выше 2-го порядка по сравнению с их расстояниями от точки M. Поэтому при определении геометрических величин, относя-
9»132
Глава VII. Кривые и поверхности
щихся к данной точке поверхности и получаемых предельным переходом, в котором играют роль бесконечно малые не выше 2-го порядка, можно заменять участок поверхности его проекцией на касательную плоскость. При этом величины, полученные измерением на касательной плоскости, окажутся для поверхности внутренне-геометрическими. Эта возможность рассматривать малый участок поверхности как плоский лежит в основе определения всех понятий внутренней геометрии.
Для примера рассмотрим определения угла и площади. Следуя общему принципу, угол между кривыми на поверхности определяем как угол между их проекциями на касательную плоскость (рис. 36). Очевидно, угол,
Рис. 36.
определенный таким образом, совпадает с углом между касательными к кривым. Определение площади, данное в § 3, основано на том же принципе. Наконец, чтобы охарактеризовать искривленность кривой «внутри» самой поверхности, вводится понятие геодезической кривизны; название «геодезическая кривизна» напоминает об измерениях на земной поверхности. Геодезическая кривизна кривой в данной точке определяется как
кривизна ее проекции на касательную плоскость (рис. 37).
Таким образом, мы убедились, что основные понятия планиметрии вводятся и во внутренней геометрии произвольной поверхности.
Легко также определить на любой поверхности фигуры, аналогичные основным фигурам на плоскости. Например, мы уже имели дело с окружностью, которая определялась дословно так же, как на плоскости. Можно определить аналог отрезка — «кратчайшую», как самую короткую из кривых, соединяющих на поверхности две данные точки, Далее, естественно определяется треугольник (как фигура,
Рис. 37.§ 4. Внутренняя геометрия а изгибание поверхностей
13 T
ограниченная тремя кратчайшими), многоугольник и т. п. Однако свойства всех этих фигур и величин зависят от поверхности, и в этом смысле существует бесконечно много различных внутренних геометрий. Но внутренняя геометрия как специальный раздел теории поверхностей обращает главное внимание на общие закономерности, имеющие место во внутренней геометрии любой поверхности, и при этом выясняет, как эти закономерности выражаются через величины, характеризующие данную поверхность.
Как уже отмечалось, одна из важнейших характеристик поверхности — ее гауссова кривизна — не меняется при изгибании, т. е. зависит
О
Рис. 38.
лишь от внутренней геометрии поверхности. Оказывается, что гауссова кривизна уже в значительной мере характеризует степень отклонения внутренней геометрии поверхности вблизи данной точки от планиметрии. Для примера рассмотрим на поверхности окружность L очень маленького радиуса г с центром в данной точке О. Длина такой окружности s(r) на плоскости выразилась бы формулой $(г) = 2ттг. На поверхности, отличной от плоскости, зависимость длины окружности от радиуса будет другой; при этом отклонение s (г) от 2w, как можно доказать, зависит при малых г в основном от гауссовой кривизны К в центре окружности, а именно:
s(r) = 2w — ^Jtfr5+ er1,
где е-*0 при г~*0. Иными словами, при малых г длину окружности можно вычислять по обычной формуле, допуская ошибку 3-го порядка малости, причем сама эта ошибка (с точностью до малых уже выше 3-го порядка) пропорциональна гауссовой кривизне. В частности, если /Г>0, то длина окружности малого радиуса меньше длины окружности того же радиуса на плоскости, если 0, то, наоборот, — больше. Впрочем, последнее нетрудно видеть и на глаз: вблизи точки с положительной кривизной поверхность имеет форму «чаши» и окружность на ней сокращается; вблизи же точки с отрицательной кривизной окружность, располагаясь вокруг «седла», делает волну и тем самым несколько растягивается (рис. 38).
Из приведенной теоремы следует, что поверхность с переменной гауссовой кривизной геометрически неоднородна; ее внутренне-геометри-134