Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Александров А.Д. -> "Математика ее содержание, методы и значение Том 2" -> 50

Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.

Александров А.Д. Математика ее содержание, методы и значение Том 2 — Москва, 1956. — 397 c.
Скачать (прямая ссылка): matemateesoderjaniemetodiiznachenie1956.djvu
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 157 >> Следующая


Zop=O. (6)

Используя аналитическое выражение средней кривизны, из этого условия получают дифференциальное уравнение, и задача сводится к решению этого уравнения с учетом того, что искомая поверхность проходит через заданный контур 1. Этой трудной задаче посвящено много исследований.

К тому же уравнению (6) приводит задача о нахождении поверхности наименьшей площади, натянутой на заданный контур. G физической точки зрения это совпадение естественно, так как пленка стремится сократиться и приходит в устойчивое равновесие, когда достигает минимальной площади, возможной в данных условиях. Поверхности нулевой средней кривизны называют в связи с этой последней задачей минимальными.

Математическое исследование минимальных поверхностей представляет большой интерес, отчасти в связи с качественным их разнообразием, обнаруженным в опытах с мыльными пленками. На рис. 31 приведены изображения мыльных пленок, натянутых на различные контуры.

Гауссова кривизна. Гауссовой кривизной поверхности в данной точке называется произведение главных кривизн

Z = A1A2-

Знак гауссовой кривизны определяет характер строения поверхности вблизи рассматриваемой точки. При поверхность имеет форму чаши (Zc1 и кг — одинаковых знаков) при К<Ъ, когда Zc1 и к2 разных знаков — форму седла. Остальные случаи строения поверхности, о которых говорилось раньше, соответствуют нулевой гауссовой кривизне. Абсолютная величина гауссовой кривизны дает представление о степени общей искривленности поверхности в некотором отвлечении от распределения кривизны по разным направлениям. Это станет особенно ясным, если

1 Для поверхности, задаваемой уравнением г = z(x, у), уравнение (6) приводится к виду

(1 + z'y) С - 2zWyzW + (1 + С) zM = 0. § 3. Основные понятия теории поверхностей

127

обратиться к другому определению гауссовой кривизны, не опирающемуся на исследование линий на поверхности.

Рассмотрим небольшой участок G поверхности F, содержащий внутри точку М, и в каждой точке этого участка проведем нормаль к поверхности.

Если откладывать эти нормали из одной точки, то они заполнят некоторый телесный угол (рис.'32). Величина этого телёсного угла будет тем больше, чем обширнее участок G и чем сильнее искривлена поверх-

Рис. 31.

ность на этом участке. Поэтому степень искривленности участка поверхности можно характеризовать отношением величины заполненного нормалями телесного угла к площади самого участка G; искривленность поверхности в данной точке естественно измерять пределом этого отношения при условии, что G стягивается в точку M Оказывается, что этот предел равен абсолютной величине гауссовой кривизны в точке М.

Самое замечательное свойство гауссовой кривизны, определяющее ее роль в теории поверхностей, заключается в следующем. Представим себе, что рассматриваемая поверхность сделана из гибкого, но практически нерастяжимого материала, скажем, выштампована из тонкой жести. Ее кусок можно затем гнуть, изменяя его форму, но не растягивая и не разрывая материала, из которого он сделан. При этом главные кривизны

і Для измерения самого телесного угла нужно построить сфер}' единичного радиуса с центром в его вершине. Площадь области, по которой сфера пересекает телесный угол, и принимается за величину телесного угла (рис. 32). 128

Глава VII. Кривые и поверхности

будут меняться, но, как доказал Гаусс, их произведение A1A2 в каждой точке остается неизменным. Этот важнейший в теории поверхностей результат показывает, что поверхности с разной гауссовой кривизной обладают глубоким различием, состоящим в том, что, даже допуская всевозможные изгибания — деформации без растяжения и сжатия, нельзя две такие поверхности наложить друг на друга. Так, например, кусок поверхности шара никаким изгибанием нельзя «распрямить» на плоскость или наложить на поверхность шара другого радиуса.

Мы рассмотрели некоторые основные понятия теории поверхностей. Что касается методов, которыми оперирует эта теория, то, как говорилось вначале, они состоят прежде всего в применении анализа, особенно теории дифференциальных уравнений. С простейшими примерами использования анализа мы уже имели дело при доказательстве теорем Эйлера и Менье. Отметим, что для решения более сложных вопросов употребляется еще специальный способ сведения задач теории поверхностей к задачам анализа. Этот способ основан на введении так называемых криволинейных координат и был впервые широко развит в работах Гаусса, связанных с задачами, которым посвящен следующий параграф.

§ 4. ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ И ИЗГИБАНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Внутренняя геометрия. Как уже было упомянуто, изгибанием поверхности называется такая ее деформация, при которой сохраняются длины всех лежащих на поверхности кривых. Например, свертывание в трубочку листа бумаги с геометрической точки зрения есть не что иное, как изгибание куска плоскости. В самом деле, бумага при этом практически не растягивается и длины всех кривых, начерченных на листе, при его свертывании не меняются. Сохраняются и некоторые другие геометрические величины, связанные с поверхностью, например площади фигур на ней. Все свойства поверхности, не меняющиеся при изгибании, составляют предмет так называемой внутренней геометрии поверхности.
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 157 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed