Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
о I(t)R в каждый момент времени равняет-Рис ^ ся полной электродвижущей силе, а эта
последняя складывается и» электродвижущей силы —v(t), происходящей от разности потенциалов на обклад-
T dl
ках конденсатора и электродвижущей силы самоиндукции —' Поэтому
IR = -V-LlI- <13>
Обозначим через Q (t) заряд конденсатора в момент t. Тогда сила тока в цепи будет равна в каждый момент Разность потенциалов г;(*) на обкладках конденсатора равна . Поэтому / = ^-=C^ и равенство (13) можно переписать в виде
LCg + ДС^ + г; = 0. (14)
Пример 6. Схема лампового генератора электромагнитных колебаний показана на рис. 5. Колебательный контур, состоящий из емкости С, сопротивления R и самоиндукции L, представляет основную колебательную систему. Катушка JJ и электронная лампа, схематически изображенная в центре рис. 5, составляет так называемую обратную связь. Они связывают источник энергии — батарею В — с контуром L, R, С• К — означает катод лампы, А — анод, S — сетку. При такой схеме в контуре L, R, С возникают «автоколебания». Во всякой реальной системе при колебательном процессе энергия переходит в тепло или передается в какой-либо другой форме окружающим телам. Поэтому для поддержания стационарного режима колебаний, для сохранения амплитуды колебаний каждая реальная колебательная система должна получать энергию извне. Автоколебания отличаются от других колеба- § 1. Введение 1]
тельных процессов тем, что для поддержания стационарного колебательного режима в таких системах воздействие извне не обязано быть периодическим. Устройство автоколебательных систем таково, что в них постоянный источник энергии, в нашем примере батарея Б, поддерживает стационарный колебательный режим. Автоколебательными системами являются часы, электрический звонок, струна и смычок, который ведет рука музыканта, голос человека и др.
Рис. 5. Рис. 6.
Сила тока I {t) в колебательном контуре L, R, С удовлетворяет уравнению
+ Ш jTv = MdjdI- (15)
Здесь v = v(t) — разность потенциалов на обкладках конденсатора в момент г, /„(?) — сила анодного тока через катушку L'; M — коэффициент взаимной связи между катушками L и L'. По сравнению с уравнением (13) уравнение (15) содержит лишний член M .
Будем считать, что анодный ток Ia (t) зависит только от разности потенциалов на сетке S и катоде лампы, т. е. будем пренебрегать реакцией анода; при таком предположении эта разность потенциалов равна разности потенциалов v(t) на обкладках конденсатора С. Характер функциональной зависимости Ia от v изображен на рис. 6. Изображенную кривую обычно принимают за кубическую параболу и ее приближенное уравнение пишут так:
Ia = a{D a2vz а3гг. Подставляя это в правую часть уравнения (15) и пользуясь тем, что
dv _ ..
мы получим для V уравнение
L S+^r - м ^+2a^+3^)] S+=о. (16) 12 |
Глава V. Обыкновенные дифференциальные уравнения
В рассмотренных примерах разыскание тех или иных физических величин, характеризующих заданный физический процесс, свелось к разысканию решений обыкновенных дифференциальных уравнений.
Задачи теории дифференциальных уравнений. Дадим теперь точные определения. Обыкновенным дифференциальным уравнением п-го порядка с одной неизвестной функцией у называется соотношение вида
F(x, у(х), у'(X)1 у" (X)1 . . . , у^(х)) = 0 (17)
между независимым переменным X и значениями
»(*)• /(X)=S,...,
Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной от неизвестной функции, которая входит в дифференциальное уравнение. Так, дифференциальные уравнения, полученные нами в примере 1,—первого порядка, в примерах 2, 3, 4, 5, 6 — второго порядка. .
Функция ® (ж) называется решением дифференциального уравнения (17), если после замены у на <р(ж), f/ на <р'(ж),..., на <р'и>(ж) оно обращается в тождество.
Часто вопросы физики и техники приводят к системам обыкновенных дифференциальных уравнений, в которые входит несколько неизвестных функций, зависящих от одного и того же аргумента,' и их производные по этому аргументу.
Для большей конкретности изложения в дальнейшем будем говорить главным образом об одном обыкновенном дифференциальном уравнении не выше 2-го порядка с одной только неизвестной функцией. На этом примере выясняются существенные свойства всех обыкновенных дифференциальных уравнений и систем таких уравнений, у которых число неизвестных функций равно числу уравнений.
Выше мы говорили о том, что каждое дифференциальное уравнение имеет, как правило, не одно, а бесконечное множество решений. Возвратимся сейчас к этому вопросу и прежде всего поясним его наглядными соображениями, основанными на разобранных выше примерах 2—6. В каждом из них дифференциальное уравнение, соответствующее рассматриваемой физической системе, вполне определялось только устройством этой системы. Но в каждой из этих систем могли происходить различные процессы. Например, совершенно ясно, что маятник, движение которого подчиняется уравнению (8), может совершать весьма разнообразные колебания. Каждому определенному колебанию маятника отвечает свое решение уравнения (8), и таких peine- § 1. Введение
