Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
При каждом из возможных значений Ik из уравнения (19) находится хотя бы одна функция Uk. Она позволяет построить частное решение волнового уравнения (18) в виде
Ui = M1 sin (\t -f <pft) Uk (х, у, z).
Такое решение называют собственным колебанием рассматриваемого объема. Постоянная Xfc есть частота собственного колебания, а функция § 5. Методы построения решений
75"
Uk (х, у, z) дает нам его форму. Эту функцию принято называть собственной фуцщивй. Для всех моментов времени функция ик, как функция переменных х, у, z, будет отличаться от функции Uk (X, у, z) только масштабом.
Мы не имеем сейчас возможности подробно доказывать все замечательные свойства собственных колебаний и собственных функций и ограничимся лишь их перечислением.
Первое свойство собственных колебаний состоит в том, что для всякого объема существует бесчисленное множество частот собственных колебаний или, как их еще называют, собственных частот. Эти частоты стремятся к бесконечности при возрастании номера к.
Второе свойство собственных колебаний называется ортогональностью. Оно состоит в том, что интегралы по области Q от произведения собственных функций, отвечающих различным Ik, равны нулю1
[(\ик(х, у, z)Uj(x, у, z)dxdydz = 0 (/=?&).
' S2 .
При / = к мы будем всегда считать
[JftZfc (ж, у, z)2dxdydz = \.
Этого всегда можно достичь, умножив функцию Uk(x, у, z) на соответственно подобранную постоянную, отчего она не перестанет удовлетворять уравнению (19) и условию ?/|л, = 0.
Наконец, третье свойство собственных колебаний заключается в том, что если мы не пропустим ни одного значения 1к, то с помощью собственных функций ик(х, у, z) мы можем с любой точностью представить совершенно произвольную функцию f(x, у, z), лишь бы она удовлетворяла граничным условиям /|s = 0 и не имела разрыва у первых и вторых производных. Любая такая функция /(х, у, z) может быть представлена сходящимся рядом
/ (х і У> z)= ^iCkUk (х, у, z). (20)
fc=i
Третье свойство собственных функций дает нам принципиальную возможность представить любую функцию f(x, у, z) в виде ряда по собственным функциям нашей задачи, а при помощи второго свойства мы можем определить все коэффициенты этого ряда. Действительно, умно-
1 Если одному значению л соответствует несколько существенно различных {линейно независимых) функций U, то это значение X учитывается в наборе \ соответствующее число раз. Условие ортогональности функций, отвечающих рав-
ным Akt может быть обеспечено соответствующим выбором этих функций. 76
Глава VI. -Уравнения в частных производных
жим обе части равенства (20) на U^(x, у, z) и проинтегрируем по всему объему U. Мы получим
OO
JJJ/ (X, у, z) Uj (ж, у, z) dx dy dz = ^ Ck j JJ Uk {х, у, z) Uj (ж, у, z) dx dy dz.
s к=1
В сумме, стоящей справа, все члены при к =^j пропадут в силу свойства ортогональности, а коэффициент при Cj будет равен единице. Следовательно, мы получим
Cy = jJJ/(x, у, z) U у (ж, у, z)dxdydz.
Перечисленные свойства собственных колебаний позволяют теперь решить общую задачу о колебаниях при любых начальных условиях. Для этого рассмотрим предполагаемое решение задачи
и = ^Ulc (х, у, z) (Ak cos lkt -)- Bk sin Xkt) (21)
и постараемся подобрать постоянные Ak и Bk так, чтобы иметь
U Ife0= /о (*, у, z),
ди
dt
<=0=/l(z. У> z)-
Подставляя в правую часть (21) Z = O, мы видим, что члены с синусами пропадут, a coslkt обратится в единицу, и мы будем иметь
OO
/о(ж> У'z) = 2 А*(х> У'z)-
«¦=1
На основании третьего свойства собственных колебаний убеждаемся, что такое представление возможно, а по второму свойству имеем
^ = JJJ/o(z, У, *) Uk (ж, у, z) dxdydz.
Таким же образом, дифференцируя формулу (21) по Z и полагая Z = O, будем иметь
ди
~дГ
Л (ж, у, Z) = v Xk (Bk cos lkt — Ak sill V)lI=oUk (ж, у, z):
OO
= 2 \BkUk(x, у, z).
Отсюда, как и раньше, получаем значения B1
к
Bk
'к= J— JJJ /і (х, У, z) Uk (х, у, z) dxdydz. § 5. Методы построения решений
77"
Зная Ak и Bk, мы фактически знаем и амплитуду и фазу каждого собственного колебания.
Мы доказали таким образом, что, складывая собственные колебания, можно получить самое общее решение задачи с однородными граничными условиями.
Всякое решение состоит, таким образом, из собственных колебаний; зная начальные условия, можно найти амплитуду и фазу каждого из них.
Совершенно так же изучаются и колебания в тех случаях, когда независимых переменных меньше. Рассмотрим в качестве примера колебания струны, закрепленной с обоих концов. Уравнение колебаний струны имеет вид
(Pu _ 2 д*и
dt* а ох* '
Пусть мы ищем решение задачи для струны длины /, закрепленной на концах
и |с=о = м U=» -- 0-Будем искать опять набор частных решений
uk = Tk(t)Uk(x). Мы получим, очевидно, рассуждая как и прежде,
TlUk = U-UlT^
или
T и
1 к о к
— я2_—_
Tk ~а Uk - V
Отсюда
Tk = Ak cos Xkt -j- Bk sin V. Uk = Mk cos x -f- Nk sin x.
Воспользуемся краевыми условиями для того, чтобы найти значе-дия Xt. Обоим условиям на краях можно удовлетворить не при всяком Ik.
