Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Если мы составим разность каких-либо двух решений одного и того же уравнения, то эта разность будет решением такого же уравнения, но со свободным членом, равным нулю. Такое уравнение называют соответствующим однородным уравнением. (Например, для уравнения Пуассона Au =— 4тср соответствующим однородным уравнением будет уравнение Лапласа Ak = O.)
Если два решения одного и того же уравнения удовлетворяют еще и одинаковым граничным условиям, то их разность будет удовлетворять соответствующим однородным условиям: для нее значение соответствующего выражения на границе будет равно нулю.
Таким образом, всё разнообразие решений такого уравнения, при данных граничных условиях, может быть получено прибавлением к какому-либо частному решению, удовлетворяющему заданным неоднородным условиям всевозможных решений однородного уравнения, удовлетворяющих однородным граничным условиям (но не удовлетворяющих, вообще говоря, начальным условиям).
Решения однородных уравнений, удовлетворяющих однородным условиям, можно складывать и умножать на постоянные числа, и мы снова будем получать аналогичные решения.
Если решение однородного уравнения с однородными условиями является функцией некоторого параметра, то, интегрируя по этому параметру, мы снова будем получать такие же решения. На этом основан важнейший метод решения всевозможных линейных задач для уравнений математической физики — метод наложения.
Решение задачи ищут в виде
и = и0 + 2 к
где U0 — частное решение уравнения, удовлетворяющее граничным условиям и не удовлетворяющее начальным условиям, a Ute — некоторые решения соответствующего однородного уравнения, удовлетворяющие соответствующим однородным граничным условиям. Если уравнение с самого начала было однородным и граничные условия тоже, то решение задачи можно искать в виде
и = 2 "»* § 5. Методы построения решений
73"
Для того чтобы иметь возможность удовлетворить произвольным начальным условиям с помощью выбора частных решений однородного уравнения ик, мы должны располагать достаточно большим набором, таких решений.
Метод разделения переменных. Для построения необходимого набора упомянутых решений существует прием, называемый разделением переменных или методом Фурье.
Разберем зтот прием подробно на примере решения задачи
A» =-S-/ (18).
Отыскивая частное решение уравнения, сделаем прежде всего предположение, что искомая [функция и удовлетворяет граничному условию и представляет собой произведение двух функций, некоторых одна зависит только от времени t, а другая — от пространственных переменных
и (х, у, z, t) = U{x, у, z)T(t).
Подставим это предполагаемое решение в наше уравнение. Мы будем; иметь
T [t) AU = Т" [t) U. Разделив обе части на TU, придем к равенству
Т" _ АЦ_
В правой части этого равенства стоит функция только от пространственных переменных, слева — величина, от пространственных координат не зависящая. Отсюда видно, что написанное равенство может быть справедливым лишь в том случае, когда и справа и слева стоят постоянные величины. Мы приходим к системе двух уравнений
11 — 7* ^L-у?
T — yV и — Ак-
Стоящую справа постоянную величину мы обозначили через —чтобы подчеркнуть, что она получится отрицательной (это может быть строго-доказано). Значок к поставлен с той целью, чтобы отметить, что получается бесконечное множество возможных значений ¦—причем соответствующие им решения образуют в известном смысле полную систему функций.
Освобождаясь от знаменателя в обоих уравнениях, мы получим
У"+ = АЇ/ + = 0. 74
Глава VI. -Уравнения в частных производных
Первое из написанных уравнений, как мы знаем, имеет простое решение
T — Ак cos Bk sin Xkt,
где Ak и Blc— произвольные постоянные. Это решение можно еще упростить с помощью введения вспомогательного угла ср. Положим
ТзЬг=-*• Wbrcosf"
Тогда Т=\Щ+В\ ein(V + ?t) = ^»ein(V + «p»). Функция T представляет собой гармоническое колебание с частотой Ik, сдвинутое на фазу Vf1t.
Наиболее трудной и интересной оказывается задача об отыскании решений уравнения
\U + \\U = 0 (19)
при заданных однородных граничных условиях, например при условии
С Is = O
(где S — граница рассматриваемого объема U), или при каком-либо ином, также однородном условии. Решения этой задачи не всегда легко построить в конечном виде через известные функции, однако решения эти всегда существуют и их можно найти с любой заданной точностью.
Уравнение AU = 0 при условии ?7|5, = 0 имеет прежде всего
очевидное решение U = 0. Решение это — тривиальное и совершенно бесполезно для наших целей. Если Ik — любое случайно взятое число, то других решений наша задача, вообще говоря, и не будет иметь. Однако существуют такие значения Xk, для которых уравнение имеет нетривиальное решение.
Все возможные значения постоянной Х| определяются как раз из того требования, чтобы при каждом из таких значений уравнение (19) имело нетривиальное, отличное от тождественного нуля решение, удовлетворяющее условию CAjs = O. (Отсюда так же следует, что величины, обозначенные через — XJ оказываются отрицательными.)
