Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
1) T Is =f(Q), (10)
или
2) ^ls =<К<?), (10')
или, наконец, в более общем случае
3) а % Is Is =I(Q), (10")
где Q обозначает произвольную точку поверхности S. Условия типа (10) называются краевыми условиями. При отыскании нужного решения уравнения Лапласа или Пуассона краевые условия одного из рассмотренных типов определяют выбор именно того решения, которое нужно, причем определяют его, как правило, однозначно.
Таким образом, для отыскания решения уравнения Лапласа или Пуассона обычно бывает необходимо и достаточно задание одной произвольной функции на границе области1. Остановимся несколько
1 Слова «произвольная функция» здось и в дальнейшем означают, что никаких специальных условий, помимо тех или иных требований регулярности, на функцию не налагается. 62
Глава VI. -Уравнения в частных производных
подробнее на уравнении Лапласа. Докажем, что гармоническая функция и, т. е. функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа, вполне определяется, если известно, какие значения она принимает на границе этой области.
Прежде всего установим, что гармоническая функция внутри области U не может нигде принимать значений больших, чем наибольшее ее значение на границе. Точнее говоря, докажем, что как абсолютный максимум, так и абсолютный минимум любой гармонической функции достигаются на границе области.
Отсюда сразу будет следовать, что если гармоническая функция на границе области 12 принимает постоянное значение, то и внутри она будет равна той же постоянной. Действительно, если максимум и минимум функции — одна и та же постоянная, то функция везде будет равна этой постоянной.
Установим теперь, что абсолютные максимум и минимум гармонической функции не могут находиться внутри области. Прежде всего заметим, что если оператор Лапласа \и от функции и (ж, у, z) во всей области положителен, то эта функция не может иметь максимума внутри области, а если он отрицателен, то она не может иметь минимума внутри области. Действительно, в точке, где функция и достигает максимума, она должна иметь максимум как функция каждого переменного по отдельности при фиксированных значениях остальных переменных. Но отсюда следует, что каждая частная производная 2-го порядка по любой переменной должна быть неположительной. Значит, и сумма их будет неположительной и оператор Лапласа положительным быть не может. Совершенно так же можно доказать, что если у функции есть минимум в некоторой внутренней точке, то ее оператор Лапласа не может быть отрицательным в этой точке. Это значит, что если оператор Лапласа отрицателен везде в области, то в этой области функция минимумов иметь не может.
Если функция гармоническая, то ее можно всегда изменить на сколь угодно малую величину так, чтобы она приобрела положительный или отрицательный оператор Лапласа; для этого достаточно прибавить к ней величину
;г y/^-r.ix'+lf + Z*),
где у) —сколь угодно малая постоянная.
Прибавление достаточно малой величины не может изменить свойства функции иметь абсолютный максимум или минимум внутри области. Если бы гармоническая функция имела максимум внутри области, то, прибавив к ней -f-г,г2, мы могли бы получить функцию с положительным оператором Лапласа, тоже имеющую максимум внутри, что по доказанному выше невозможно. Значит, гармоническая функция не может достигать абсолютного максимума внутри области. S 3. Начальные и краевые условия
63
'Гак же доказывается, что гармоническая функция не может иметь внутри области и абсолютного минимума.
Из доказанной теоремы вытекает важное следствие. Две гармонические функции, принимающие на границе области одинаковые значения совпадают всюду внутри области. В самом деле, разность этих функций (она снова будет функцией гармонической) обращается в нуль на границе области и, следовательно, везде равна нулю внутри области.
Как мы видим, значения гармонической функции на границе полностью определяют эту функцию. Можно доказать (но мы не имеем возможности останавливаться на этом подробнее), что эти значения могут быть заданы совершенно произвольными и что всегда найдется при этом гармоническая функция, принимающая эти значения.
Несколько более сложно выглядит доказательство того, что распределение установившихся температур в теле полностью определяется, если известен поток тепла через каждый элемент поверхности тела или закон, связывающий поток тепла с температурой. Мы вернемся несколько позднее к этому вопросу, когда будем разбирать методы решения задач математической физики.
Краевая задача для уравнения теплопроводности. Совершенно по-иному ставится задача об отыскании решения уравнения теплопроводности в неустановившемся случае. Физически ясно, что значения только температуры на границе или только потока тепла на границе недостаточно для того, чтобы определить решение задачи. Если, однако, кроме того известно распределение температуры в некоторый начальный момент времени, то задача становится определенной. Таким образом, для разыскания решения уравнения передачи тепла (8) обычно необходимо и достаточно задать одну произвольную функцию T0 (х, у, z) — начальное распределение температур — и еще одну произвольную функцию на границе области. Это может быть, как и раньше, либо температура на поверхности тела, либо поток тепла через каждый элемент поверхности, либо закон, связывающий поток тепла с температурой.
