Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Александров А.Д. -> "Математика ее содержание, методы и значение Том 2" -> 24

Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.

Александров А.Д. Математика ее содержание, методы и значение Том 2 — Москва, 1956. — 397 c.
Скачать (прямая ссылка): matemateesoderjaniemetodiiznachenie1956.djvu
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 157 >> Следующая


в предположении отсутствия внешних сил [Fx = Ftj-F2 = 0) получим уравнение

(для этого^достаточно подставить выражение для ускорений в уравнение неразрывности и исключить из пего плотность р при помощи закона Бойля—Мариотта: р = а2р).

Уравнения (7), (8) и (9) типичны для многих задач математической физики, а не только для рассмотренных выше. Их подробное изучение дает возможность разобраться в большом числе физических явлений.

В уравнениях с частными производными так же, как это было в обыкновенных уравнениях, каждое уравнение, за редким исключением, имеет бесчисленное множество частных решений. Поэтому каждый раз для того, чтобы решить конкретную физическую задачу, т. е. найти неизвестную функцию, удовлетворяющую какому-либо уравнению, необходимо уметь выбирать нужные решения среди "бесконечного множества различных решений. Для этого обычно необходимо бывает знать, помимо уравнения, еще некоторое число дополнительных условий. Как мы видели выше, уравнения в частных производных представляют собою выражение элементарных законов механики или физики, относящихся к малым часіицам, расположенным внутри среды. Мало, однако, знать только законы механики для того, чтобы суметь предсказать какое-либо явление. Чтобы, например, предсказать движение небесных тел, как это делается в астрономии, считая, разумеется, известными массы этих тел, нужно, помимо общих формулировок законов Ньютона, знать еще начальное состояние изучаемой системы, т. е. расположение тел и их скорости в. некоторый начальный момент времени. Подобного типа дополнительные условия возникают всегда и при решении задач математической физики.

Таким образом, задачи математической физики состоят в отыскании решений уравнений в частных производных, удовлетворяющих некоторым дополнительным условиям.

(9)

§ 3. НАЧАЛЬНЫЕ И КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ. ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ 60

Глава VI. -Уравнения в частных производных

В соответствии с различием между уравнениями, выписанными нами выше — уравнениями (7), (8) и (9) — различаются и те задачи, которые можно ставить и решать для этих уравнений.

Уравнения Лапласа и Пуассона. Гармонические функции и единственность решения для них краевой задачи. Разберем указанные постановки задач несколько подробнее. Начнем с уравнений Лапласа и Пуассона. Уравнением Пуассона называется уравнение1

Iu = —4тср,

где р имеет обычно смысл плотности. В частном случае р может обратиться в нуль. При р = 0 мы получаем уравнение Лапласа

Ам = 0.

Нетрудно видеть, что два частных решения U1 и U2 какого-либо уравнения Пуассона всегда отличаются друг от друга на функцию, удовлетворяющую уравнению Лапласа, или, как иначе говорят, на гармоническую. функцию. Все многообразие решений уравнения Пуассона сводится таким образом к многообразию гармонических функций.

Если бы мы сумели каким-либо способом построить хотя бы одно частное решение U0 уравнения Пуассона, то, заменив неизвестную функцию при помощи формулы

и = M0 -j- W,

мы получили бы для новой неизвестной функции w уравнение Лапласа. Так же точно мы могли бы, сделав соответствующую замену в дополнительных условиях, получить дополнительные условия для новой функции w. Поэтому особую важность представляет исследование задач для уравнения Лапласа.

Как это чаще всего и бывает в математических задачах, правильная постановка вопроса об отыскании решения уравнения математической физики подсказывается непосредственно практикой. Дополнительные условия, возникающие при решении уравнения Лапласа, вытекают из самой физической постановки задачи.

Пусть мы рассматриваем, например, установившееся тепловое состояние в некоторой среде, т. е. распространение тепла в некоторой среде, где источники тепла постоянны и находятся либо вне, либо внутри среды. По прошествии некоторого времени при этих условиях в любой точке среды устанавливается не зависящая от времени темпе-

1 Знаком Ди принято для краткости обозначать выражение

02и і дги і д2и

называемое обычно оператором Лапласа функции и. jf 3. Начальные и краевые условия

6J

ратура. Для того чтобы узцать температуру T в каждой точке, нам нужно найти то решение уравнения

где q — плотность тепловыделения, которое не зависит от t. Мы получим

ДГ + д = *).

Как видно, температура- в нашей среде удовлетворяет уравнению Пуассона. Если плотность тепловыделения q равна нулю, то уравнение Пуассона переходит в уравнение Лапласа.

Чтобы найти температуру внутри среды, необходимо, как это следует из простых физических соображений, знать еще, что происходит на границе рассматриваемой среды.

Очевидно, все законы физики, рассмотренные нами ранее для внутренних точек тела, получат совсем другую формулировку в точках границы.

В задаче об установившемся тепловом состоянии мы можем задать на границе либо распределение температур, либо величину потока тепла, проходящего через единицу поверхности, либо, наконец, какой-либо закон, связывающий температуру с потоком тепла.

Рассматривая температуру в объеме U, ограниченном поверхностью S, мы можем эти условия записать так:
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 157 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed