Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Александров А.Д. -> "Математика ее содержание, методы и значение Том 2" -> 23

Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.

Александров А.Д. Математика ее содержание, методы и значение Том 2 — Москва, 1956. — 397 c.
Скачать (прямая ссылка): matemateesoderjaniemetodiiznachenie1956.djvu
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 157 >> Следующая


Представим себе некоторый участок струны. Будем обозначать отклонение точки струны от положения равновесия через и (X, I). Пред-ц полагается, что колебание струны

происходит в одной плоскости и состоит в смещениях, перпендикулярных к оси Ох. Представим отклонение и (X, t) графически в некоторый момент времени (рис. 2). Выделим на чертеже участок струны между 0 х> хг точками X1 и х2. В этих точках

Рис. 2. будут действовать две силы, рав-

ные натяжению T и направленные каждая соответственно по касательной к и (х, t).

Если участок струны имеет некоторую кривизну, то равнодействующая этих двух сил не будет равна нулю. Эта равнодействующая на основании законов механики должна равняться скорости изменения количества движения нашего участка.

Пусть масса, приходящаяся на каждый сантиметр длины струны, равна р. Тогда скорость изменения количества движения будет

л.,

Г dlu ,

P J Wdx-

X1

Если угол, составленный касательной к струне с осью Ох, обозначить через f, то мы будем иметь

T sin ф2 — T sin f, = j р^ dx.

ж.

Это и есть основное уравнение, выражающее третий закон механики в интегральной форме. Легко выразить его в дифференциальной форме. Мы имеем очевидно § 2. Простейшие уравнения математической физики 57

На основании известных теорем дифференциального исчисления легко связать T sin о с неизвестной функцией и. Мы получим

ди

. du t? <Р дх

Igf = T, SlP <Р = . =-..

и, приближенно считая, что (^j мало, имеем

Ou

Sin СЭ — .

' OX

Тогда

rj, д2и іУ-и /йч

Последнее уравнение и представляет собою уравнение колебаний струны в дифференциальной форме.

Основные виды уравнений математической физики. Как мы уже говорили выше, различные уравнения в частных производных, описывающие физические явления, представляют собою обычно системы уравнений с несколькими неизвестными функциями. Однако в большом числе случаев удается заменить эту систему одним уравнением. Легко показать это на примере простейших задач.

Обратимся к уравнениям движения, рассмотренным в предыдущем пункте. Решать эти уравнения нужно совместно с уравнением неразрывности. О том, как это можно сделать, мы расскажем несколько позднее.

1. Начнем с уравнения для стационарного течения идеальной жидкости. '

Всевозможные движения жидкости делят на движения вихревые и движения безвихревые или так называемые потенциальные. Хотя безвихревые движения представляют собою лишь частный случай движения, а вообще говоря, движение жидкости или газа всегда бывает в какой-то мере завихренным, тем не менее опыт показывает, что эти безвихревые движения во многих случаях осуществляются с большой точностью. Кроме того, из теоретических соображений можно показать, что в жидкости с вязкостью, равной нулю, при отсутствии вихря в начальный момент он не будет возникать и позднее.

Для потенциального движения жидкости существует такая скалярная функция U (%, у, z, t), называемая потенциалом скоростей, что вектор скорости V выражается через нее по формулам

___ OU _du _(tu

Vx — dx-> VV — ду ' Ьг~д1 '

Во всех случаях, изученных нами до сих пор, мы имели дело с системами четырех уравнений с четырьмя неизвестными функциями или 58

Глава VI. -Уравнения в частных производных

говоря иначе, с одним скалярны» и одним векторным уравнениями, содержащими одну скалярную неизвестную функцую и одно неизвестное, векторное поле. Обычно эти уравнения можно привести к одному уравнению с одной неизвестной функцией, но 2-го порядка. К этому мы сейчас и перейдем, начав с простейшего случая.

Для потенциального движения несжимаемой жидкости, в которой

^j = 0, мы имеем две системы уравнений: уравнение неразрывности.

. dvy , <м = о

Г \ дх ^ ду ' dz J

и уравнения потенциального движения

_^dU _dU _ _ои

Vx~d^-> VУ ду ' V* — '

Подставляя в первое уравнение значения скоростей, вычисленные из второго, будем иметь

rw CfiU П)

дх* ^r ду? I ~ v V

2. Векторное поле «потока тепла» также может быть связано с одной скалярной величиной — температурой — при помощи дифференциальных соотношений. Известно, что тепло «течет» в направлении от нагретых, частей тела к холодным. Поэтому вектор потока тепла следует считать направленным обратно вектору градиента температуры. Естественно также предположить, что величина этого вектора в первом приближении прямо пропорциональна так называемому градиенту температуры. Это предположение хорошо оправдывается на опыте.

Вектор градиента температуры имеет составляющие

дТ_ дТ_ дТ_ дх ' ду ' dz

Принимая коэффициент пропорциональности равным к, получим три уравнения

у дТ j дТ j ОТ

Т_ = -IC -г- , Tu--At—, Т. = -К — .

х дх ч ду , z dz

Их следует решать совместно с уравнением баланса тепловой энергии (3)

dt ' дх "т" ду ' dz

Подставляя вместо Ta., т, их значения, получим

гдТ , Г02T J2T , <fiTl . jf 3. Начальные и краевые условия

6J

3. Наконец, для малых колебаний газовой среды, например звуковых колебаний, из уравнения

и уравнений динамики (5)

dvx і dp _р dvy , Op_ ,, dvt і dp _ „
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 157 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed