Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Александров А.Д. -> "Математика ее содержание, методы и значение Том 2" -> 22

Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.

Александров А.Д. Математика ее содержание, методы и значение Том 2 — Москва, 1956. — 397 c.
Скачать (прямая ссылка): matemateesoderjaniemetodiiznachenie1956.djvu
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 157 >> Следующая


Таким же способом, как мы получили уравнение неразрывности при движении жидкости, выражавшее закон сохранения вещества, мы ложем получить новое уравнение в частных производных, выражающее закон сохранения энергии.

Объемную плотность Q тепловой энергии в данной точке можно выразить формулой

Вывод этого уравнения дословно совпадает с выводом уравнения неразрывности, если в нем «плотность» заменить на «плотность энергии», а поток массы заменить на поток тепла. При этом мы считаем, что в среде, где рассматривается явление распространения тепла, тепловая энергия нигде не возникает. Когда же B1 среде имеется налицо тепло-

<?Р і д (pvx) , д (руЙ) д (pvt) __ Q dt дх ' ду ' Vz

(1)

дТ . діх , діу . діг

dt ' дх ' ду ^ dz

(2) 54

Глава VI. -Уравнения в частных производных

выделение, уравнение (2) баланса тепловой энергии должно быть изменено. Если q — «плотность тепловыделения», т. е. количество тепловой энергии, выделяемое за единицу времени в единице объема среды, то уравнение сохранения тепловой энергии примет следующую, более сложную, форму:

+ • (3)

dt 1 дх 1 ду 1 dz v v '

3. Еще одно уравнение типа уравнения неразрывности можно получить, дифференцируя уравнение (1) по времени. Мы сделаем это для уравнения малых колебаний газа около положения равновесия. Будем с,читать, что при таких колебаниях плотность меняется мало и величины до до да до

дх ' ду' dz и dt —малые величины, произведениями которых на l\, ry, Vz можно пренебречь. Тогда

(>р „ {OV' I dvV _L "v' \_n

й+PVte + — U-

Дифференцируя это уравнение по времени и пренебрегая произведено дг>х dv., dv, НИЯМИ JT на -T- . -Tr , -t- , получим

Уравнения движения. І. Важный пример выражения физического закона дифференциальным уравнением доставляют уравнения равновесия или уравнения движения среды. Пусть среда состоит из материальных частиц, движущихся со своими скоростями. Выделим, как и в первом примере, мысленно в нашей среде некоторый объем 12, ограниченный поверхностью S и заполненный частицами вещества среды, и напишем третий закон Ньютона для частиц, находящихся в этом объеме. Третий закон Ньютона гласит, что при всяком движении среды скорость изменения суммарного количества движения всех точек некоторой системы равно сумме импульсов всех сил, приложенных к этому объему. Количество движения, как известно из механики, представляет собою векторную величину

P= [ j'Jр® t/12.

2

Частицы, заполнявшие с плотностью р малый объем dll, через время At будут заполнять с некоторой, новой плотностью р' новыи объем dil', но их общая масса будет прежней § 2. Простейшие уравнения математической физики

55

Произошедшее за то же время изменение скорости V до некоторого значения т. е. на величину Дг> = г>' — v, влечет изменение-количества движения на величину

р 1V1 dQ! — pvdu = pv'du — pv dil = p Av du, или в единицу времени:

Суммируя по всем частицам, находившимся в объеме ?2, получим, что скорость изменения их количества движения равна

JJJfS-B. ™ — JJfefc*. JffeS?*.

9 9 а

/„ dvx dvu dv? -.

1 одесь производные , , обозначают скорость изменения той или иной составляющей v не в данной точке пространства, а для данной движущейся частицы. Это подчеркивается обозначением — вместо .

Как известно, ± = А + ^ ^ + v> !L + ^ .

Силы, приложенные к объему, могут быть двух родов: силы объемные, действующие на каждую частицу, лежащую внутри объема, и силы поверхностные или напряжения, приложенные к поверхности S, ограничивающей этот объем. Первые силы суть силы дальнодействия, а вторые — силы близкодействия.

Для того чтобы пояснить сказанное, допустим, что рассматриваемая среда представляет собой жидкость. Поверхностные силы, действующие на элемент поверхности ds, будут в этом случае иметь величину pds, где р — давление жидкости, и будут направлены в сторону, обратную внешней нормали.

Если обозначить единичный вектор, направленный по нормали к поверхности S, через п, то силы, приложенные к участку ds, будут равны

— pit ds.

Пуст?, кроме того, F обозначает вектор внешних сил, приложенных к единице объема. Тогда наше уравнение запишется в виде

dv

j'JJp-f Al = JJJFAl-Jf/^.

Это уравнение представляет собою уравнение движения в интегральной форме. Оно может быть преобразовано в уравнение в дифференциальной форме так же, как уравнение неразрывности было преобразовано в дифференциальное уравнение (1). В результате мы придем к системе: ^dVx . Op_ „ doy . Op_ „ dv, . dp_ „ 56

Глава VI. -Уравнения в частных производных

Эта система и выражает в дифференциальной форме третий закон Ньютона.

2. Другим характерным примером применения законов механики в дифференциальной форме является уравнение колебаний струны. Струной называют очень тонкое длинное тело из упругого вещества, которое приобретает гибкость благодаря своей малой толщине. Струна обычно бывает сильно натянута. Если мы мысленно проведем в нашей струне сечение, разделив ее в какой-либо точке х на две части, то со стороны каждого из отрезков струны на другой будет действовать сила, равная натяжению и направленная по касательной к линии струны.
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 157 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed