Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Чтобы описать в общих чертах задачи теории дифференциальных уравнений, отметим сначала, что каждое дифференциальное уравнение имеет, вообще говоря, не одно, а бесконечно много решений, — существует бесконечное множество функций, ему удовлетворяющих. Так; например, указанное выше уравнение движения материальной частицы должно выполняться для всякого движения, происходящего, под действием силы, характеризуемой функцией F (х, ~ , ^ , независимо от
того, с какого места оси оно началось и какова была начальная скорость. Каждому отдельному движению частицы будет соответствовать своя зависимость х от времени t. Так как движений цод действием силы F может быть бесконечно много, дифференциальное уравнение (2) будет иметь бесконечное множество решений.
Каждое дифференциальное уравнение определяет, вообще говоря, целый класс функций, ему удовлетворяющих. Основной задачей теории является изучение функций, удовлетворяющих дифференциальному уравнению. Теория уравнений должна дать возможность получить достаточно полное представление о свойствах всех функций, удовлетворяющих уравнению, что особенно важно в приложениях уравнений к естествознанию. Кроме того, она должна обеспечить средства для нахождения численных значений функций, если это потребуется для расчетов. О том, как это осуществляется, мы будем говорить позже.
Если неизвестная функция зависит от одного аргумента, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением. В том же случае, когда неизвестная функция зависит от нескольких аргументов и в уравнение входят производные от нее по нескольким аргументам, дифференциальное уравнение называют уравнением с частными производными. Первые три из уравнений (1) являются обыкновенными, а последние три — уравнениями с частными, производными. 6 |
Глава V. Обыкновенные дифференциальные уравнения
Теория уравнений с частными производными обладает многими своеобразными чертами, существенно отличающими ее от теории обыкновенных уравнений. Основные идеи, связанные с такими уравнениями, будут изложены в следующей главе; здесь жо мы будем иметь в виду только обыкновенные дифференциальные уравнения. Расдмотрим несколько примеров.
Пример 1. Закон распада радия состоит в том, что скорость распада пропорциональна наличному количеству радия. Пусть известно, что в некоторый момент времени t — tu имелось B0 граммов радия. Требуется определить количество радия в любой момент времени t.
Пусть B{t)— количество нераспавтегося радия в момент времени I.
Скорость распада измеряется величиной—. Так как она пропорциональна В, то мы имеем
-d4 = kB, (3)
где к — величина постоянная.
Чтобы решить нашу задачу, нужно определить функцию из дифференциального уравнения (3). Для этого заметим, что функция, обратная к B(t), удовлетворяет уравнению
— — = — Ш
dR kR* W
dt 1 л,
так как Jr-Jr- Из интегрального исчисления известно, что уравне-"Л
нию (4) удовлетворяет любая функция вида
1
= --і-ІпЯ-К,
где С — произвольная постоянная величина. Из этого соотношения мы определяем В как функцию t. Имеем
R=Ze-kWc=Cie-Xi. (5)
Из всего множества решений (5) уравнения (3) мы должны выделить такое, которое при t —I0 принимает значение B0. Такое решение мы получим, если положим C1 = R0ekl°.
С математической точки зрения уравнение (3) является записью весьма простого закона изменения функции R и говорит о том, что
скорость убывания функции —^ пропорциональна значению самой
функции R. Такой закон изменения функции выполняется не только в явлениях радиоактивного распада, но и во многих других физических явлениях.
С тем же> законом изменения функции мы встречаемся, например, при изучении охлаждения тел, когда убыль количества тепла в теле § 1. Введение
1]
пропорциональна разности между температурой тела и температурой окружающей среды, и при рассмотрении многих других физических процессов. Поэтому область применения уравнения (3) несравненно шире той частной задачи распада радия, для которой мы это уравнение получили.
Пример 2. Пусть материальная точка с массой т движется вдоль горизонтальной оси Ox в сопротивляющейся среде, например в жидкости или газе, под влиянием упругой силы двух пружин, действующих по закону Гука (рис. 1). Этот закон состоит в том, что упругая сила действует в сторону положения равновесия и пропорциональна
ІішшшШгшшшг
•а_„уЩ
Рис. 1.
отклонению от положения равновесия. Пусть положению равновесия соответствует точка ж = 0. Тогда сила упругости равна —bx(b^> 0).
Силу сопротивления среды будем считать пропорциональной скорости движения, т. е. равной —гДе «]>0 и знак минус указывает на то, что сопротивление среды направлено против скорости движения. Такое предположение о силе сопротивления среды хорошо оправдывается опытом при малых скоростях.
На основании закона Ньютона произведение массы материальной точки на ее ускорение равно сумме действующих на нее сил, т. е.
d2x • , dx /Q.
т — = -Ъх-аш. (6)
Таким образом, функция х{1), выражающая положение движущейся точки в любой момент врембни t, удовлетворяет дифференциальному уравнению (6). Исследованием решений этого уравнения мы займемся в одном из следующих параграфов.
