Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Как уже было сказано, в физике играют важную роль «грубые» системы (см. § 3). А. А. Андронов вместе с Л. С. Понтрягиным составил каталог кусков, из которых может состоять вся картина поведения интегральных линий на плоскости (х, у) для грубого дифференциального уравнения вида (64). Давно было известно, например, что центр около особой точки легко разрушается при малых изменениях уравнений (64). Поэтому в состав картины поведения интегральных линий уравнений (64) не может входить центр, т. е. семейство замкнутых интегральных линий, окружающих особую точку, если уравнение грубое.
Вопрос о поведении интегральных кривых в целом остается еще далеким от своего окончательного решения. Заметим, что аналогичный, вероятно, более простой вопрос о том, какой вид на плоскости могут иметь действительные алгебраические кривые, т. е. кривые, определенные уравнением
Р(х, у) = 0,
где P (х, у) — многочлен /1-й степени, также далек от своего полного решения. Полностью известно, какой вид могут иметь эти кривые только при п <6.
Решения системы (64) определяют движения на плоскости. Если мы каждой точке х0, у0 на плоскости поставим в соответствие точку \x(t, X0, у0), y(t, х0, у0)], где X(t, х0, у0), y(t, х0, у0) — решение системы (64) с начальными условиями ж = X0 и у = у0 при t = t0, то получим преобразование точек плоскости, зависящее от параметра t. Аналогичные преобразования, зависящие от параметра, и движения, которые они порождают, можно рассматривать на сфере, торе и других многообразиях. Свойства этих движений изучаются в теории динамических систем. В окрестности каждой точки эти движения также будут являться решениями некоторой системы дифференциальных уравнений. В последние десятилетия теория динамических систем получила широ- 47
кое развитие в работах советских математиков В. В. Степанова,
A. Я. Хинчина, Н. Н. Боголюбова, Н. М. Крылова, А. А. Маркова,
B. В. Немыцкого и других, а также в работах Г. Биркгофа и других зарубежных ученых.
В настоящей главе мы дали краткий очерк современного состояния теории обыкновенных дифференциальных уравнений и постарались описать задачи, которые в этой теории рассматриваются. Наше изложение ни в какой мере не может претендовать на полноту. Мы были вынуждены отказаться от рассмотрения многих отделов теории уравнений, которые посвящены или изучению более специальных проблем, или требуют наличия более широких математических знаний, чем те, которые мы предполагали имеющимися у читателя книги. Например, мы совсем не затрагивали обширного и важного отдела, в котором рассматриваются вопросы теории дифференциальных уравнений с комплексным аргументом. Мы не имели возможности остановиться на так называемых краевых задачах, в частности на теории собственных функций, имеющей большое значение в приложениях.
Весьма мало внимания мы могли уделить методам приближенного численного и аналитического решения дифференциальных уравнений и т. д. Для ознакомления со всеми-такими вопросами мы вынуждены рекомендовать читателю обратиться к специальным книгам.
ЛИТЕРАТУРА Университетские учебники Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Изд. 4-е, Гостехиздат, 1952. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. Изд. 6-е, Гостехиздат, 1953.
Э л ь с г о л ь д Л. Э. Обыкновенные дифференпиальные уравнения. Гостехиздат, 1954.
Книга содержит основные сведения по теории дифференциальных уравнений, а также изложение приближенных методов интегрирования дифференциальных уравнений. Предназначена для инженеров и студентов втузов.
Монографии
Андронов А. А. н Хайкин С. Э. Теория колебаний, ч. 1, ОНТИ, 1937.
В книге рассматриваются дифференциальные уравнения, к которым приводят вопросы теории колебаний. При исследовании этих задач применяются методы качественной теории дифференциальных уравнений.
Немыцкий В. В. и Степанов В. В. Качественная теория дифференпиальных уравнений. Гостехиздат, 1947.
В книге излагаются основы этой теории. Рассчитана на студентов университетов и научных работников. Глава VI
УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
Изучая какие-либо явления природы, исследователь встречается с уравнениями в частных производных не менее часто, чем с обыкновенными дифференциальными уравнениями. Как правило, зто бывает в тех случаях, когда явление описывается функциями многих переменных. Из изучения природы возник тот класс уравнений в частных производных, который можно считать наиболее изученным в настоящее время и который, пожалуй, является и наиболее важным в системе человеческого знания, а именно уравнения математической физики.
Рассмотрим прежде всего колебания какой-либо среды. При таких колебаниях каждая точка этой среды, занимающая в равновесии положение х, у, z, будет в момент времени t смещена на вектор и (х, у, z, t), зависящий от начального положения точки х, у, z и времени t. В этом случае интересующее нас явление будет описываться векторным полем. Нетрудно, однако, видеть, что знание этого векторного поля — поля смещений точек среды — еще недостаточно для полного описания колебаний. Необходимо еще знать, например, плотность в каждой точке среды р (х, у, z, t), температуру T (х, у, z, t) в каждой точке, а также внутренние напряжения, т. е. те силы, которые действуют на произвольно выделенный объем тела со стороны всей остальной части.
