Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Александров А.Д. -> "Математика ее содержание, методы и значение Том 2" -> 18

Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.

Александров А.Д. Математика ее содержание, методы и значение Том 2 — Москва, 1956. — 397 c.
Скачать (прямая ссылка): matemateesoderjaniemetodiiznachenie1956.djvu
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 157 >> Следующая


Совокупность всех интегральных линий уравнения (65) дается формулой

P = I-I-Cep, (66)

где С — произвольная постоянная, различная для различных интегральных линий. Чтобы р было неотрицательным, надо, чтобы <р

принимало значение не больше^ чем — In I СI , если С < 0. Семейство интегральных линий будет состоять:

1) из окружности р=1 (С =0);

2) из спиралей, выходящих из начала координат, которые изнутри приближаются к этой окружности при <р-> — со (С <С 0);

3) из спиралей, которые приближаются извне к окружности р = 1, когда 9-> — со (С > 0) (рис. 14).

Окружность р = 1 называется предельным циклом для уравнения (65). Вообще замкнутая интегральная линия I называется предельным циклом, если ее можно заключить в такое кольцо все точки которого — обыкновенные для уравнения (64) и которое целиком заполнено незамкнутыми интегральными линиями.

Из уравнения (65) видно, что все точки окружности являются для него обыкновенными. Значит, малый кусок предельного цикла ничем не отличается от куска всякой другой интегральной линии.

Каждой замкнутой интегральной линии на фазовой плоскости (х, у) отвечает периодическое решение [х (Z), у (Z)] системы

Рис. 14.

dx

~dt



(67>

описывающей закон изменения некоторой физической системы. Те интегральные линии на фазовой плоскости, которые при Z-»-|-co приближаются к предельному циклу, отвечают движениям, приближающимся при Z -*¦ -j- оо к периодическим.

Пусть для любой достаточно близкой к предельному циклу I точки (хо> Уо)> взятой в качестве начальной точки при Z = Z0 для решения § 7. Качественная теория

S9

системы (67), соответствующая интегральная линия, описываемая точкой (х (Z), у (Z)), при і ——(— оо приближается к предельному циклу I на плоскости (х, у). (Это значит, что описываемые движения приближаются к периодическим). В этом случае соответствующий предельный цикл называется устойчивым. Колебания, которым отвечают такие предельные циклы, соответствуют в физике автоколебаниям. В некоторых автоколебательных системах может существовать несколько стационарных колебательных процессов с различными амплитудами. Тот или другой из них устанавливается в зависимости от начальных условий. На фазовой плоскости таким автоколебательным системам соответствует несколько предельных циклов, если процессы, происходящие в этих системах, описываются уравнениями вида (67).

Задача хотя бы приближенного нахождения предельных циклов заданного дифференциального уравнения до сих пор не имеет удовлетворительного решения. Наиболее распространенным методом для решения этой задачи является предложенный Пуанкаре метод построения «циклов без прикосновения». Он основан на следующей теореме. Допустим, что на плоскости (х, у) удалось найти такие две замкнутые линии L1 и L2 (цикла), которые обладают следующими свойствами:

1) Линия L2 вложена в область, ограниченную L1.

2) В кольце Q, заключенном между L1 и L2, нет ни одной особой точки уравнения (64).

3) L1 и L2 всюду имеют касательные, причем направления этих касательных нигде не совпадают с направлением поля направлений для заданного уравнения (64).

4) Для всех точек L1 и L2 косинус угла между внутренней нормалью к границе области Q и вектором с компонентами [JV (ж, у), М{х, у)) имеет один и тот же знак.

Тогда между L1 и L2 имеется по крайней мере один предельный цикл уравнения (64).

Пуанкаре называет линии L1 и L2 циклами без прикосновения.

Доказательство этой теоремы основано на следующем, довольно очевидном, факте. Допустим, что при возрастании Z (или при убывании Z) все интегральные линии

X = X (t), y = y(t)

уравнения (64) (или, что все равно, уравнений (67), где Z — параметр), пересекающие L1 и ли L2, входят в кольцо Q мeждyL1 и L2. Тогда они обязательно должны навиваться на какую-то замкнутую линию I, лежащую между L1 и L2, так как никакая из интегральных линий, попавших в это кольцо, не может выйти из него и в кольце нет особых точек.

Само разыскание циклов без прикосновения представляет довольно сложную задачу. Никаких общих методов для этого не известно. Для 46 |

Глава V. Обыкновенные дифференциальные уравнения

отдельных частных примеров удается найти циклы без прикосновения и тем доказать существование предельных циклов.

В радиотехнике имеет большое значение разыскание предельных циклов (автоколебательных процессов) для уравнения (16) лампового генератора. Для уравнения типа (16) около 20 лет тому назад Н. М. Крылов и Н. Н. Боголюбов предложили метод приближенного вычисления предельного цикла, который имеется у зтого уравнения. Примерно в то же время советские физики JL И. Мандельштам, Н. Д. Папалекси и А. А. Андронов доказали возможность применения для зтой цели так называемого метода малого параметра, которым прежде хотя и пользовались на практике, но строгого обоснования законности применения зтого метода не было. Для анализа уравнений автоколебательных систем А. А. Андронов впервые стал систематически применять методы, развитые прежде в теории дифференциальных уравнений А.. М. Ляпуновым и А. Пуанкаре. Таким образом, он получил целый ряд важных результатов.
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 157 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed