Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Предположим, что функции Z1 (х, у, t) и /2 (х, у, Z) можно представить в виде
Z1 (х, у, t) = ацх а12у -f- B1 (х, у, Z), U(x, У. 1) = аю.х +aViV jTrAx* У* 0. 42 |
Глава V. Обыкновенные дифференциальные уравнения
где atj — постоянные, a R1 (х, у, t) и R2(x, у, t) — такие функции от х, у, и t, что
IR1 (х, у, t) |< M (X2 + г/2) и IR2 (х, у, Ol < M (я2 + у% (61)
где M — некоторая положительная постоянная.
Если в системе (57), пользуясь представлением (60), отбросить R1(x, у, t) и R2(x, у, t), то получится система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
J = аих + а12у,
dy
dt
= а21х-\- а22у,
(62)
которая называется системой первого приближения для нелинейной системы (57).
До А. М. Ляпунова при исследовании вопроса об устойчивости в основном ограничивались изучением устойчивости в первом приближении, т. е. изучением устойчивости для системы (62), считая полученный результат разрешающим вопрос об устойчивости и для основной нелинейной системы (57). А. М. Ляпунов первый показал, что в общем случае такое заключение не верно. G другой стороны, он дал ряд весьма широких услобий, при выполнении которых вопрос об устойчивости для нелинейных систем до конца решается по первому приближению. Одним из таких условий является следующее. Если действительные части всех корней \ уравнения
«и — *
«22 ^
:0
отрицательны и для функций R1 (х, у, t) и R2 (х, у, t) выполнены условия (61), то решение x(t)~ 0, у (Z) = 0 устойчиво по Ляпунову. Если действительная часть хотя бы одного корня \ положительна, то при выполнении условия (61) решение X (I) = 0, у (I) = O будет неустойчивым. А. М. Ляпунов дал также ряд других достаточных условий устойчивости и неустойчивости движения1. Работы А. М. Ляпунова с большим успехом продолжали советские математики.
Если правые части уравнений (57) не зависят от t, то, разделив первое уравнение системы (57) на второе, получим
dy _/i у) (63)
dx /2 (X, у)
Для зтого уравнения начало координат будет особой точкой. В случае устойчивого равновесия в этой точке может быть фокус, узел или центр, но не может быть седла.
1 А. М. Ляпунов. Общая задача об устойчивости движения. § 7. Качественная теория
S9
Таким образом, по характеру особой точки можно судить об устойчивости или неустойчивости состояния равновесия.
Поведение интегральных кривых в целом. Иногда бывает важно построить схему поведения интегральных линий во всей области задания системы дифференциальных уравнений «в целом», не заботясь при этом о сохранении масштаба. Будем рассматривать пространство, в котором эта система определит поле направлений, как фазовое пространство для некоторого физического процесса. Тогда построение схемы интегральных кривых соответствующей системы дифференциальных уравнений даст нам представление о характере всех процессов (движений), которые могут происходить в этой системе. На рис. 10—13 мы строили подобные схемы для поведения интегральных линий в окрестности изолированной особой точки.
Одной из самых фундаментальных задач теории дифференциальных уравнений является задача найти по возможности более простой способ построения схемы поведения семейства интегральных линий заданной системы дифференциальных уравнений во всей области ее определения— изучение поведения интегральных кривых этой системы дифференциальных уравнений «в целом». Эта задача почти совсем не изучена для пространства, число измерений которого больше двух. Она еще очень далека от своего разрешения и для одного уравнения вида
dy_M (х, у)
H N (х, у) ( '
даже в том случае, когда M (х, у) и N (х, у) являются многочленами.
В дальнейшем мы будем предполагать, что функции M (х, у) и N (х, у) имеют непрерывные частные производные 1-го порядка.
Если все точки односвязной области G, где задана правая часть дифференциального уравнения (64), обыкновенные, то семейство интегральных линий можно схематически изобразить семейством отрезков параллельных прямых, так как в этом случае через каждую точку области G проходит одна интегральная линия и никакие две интегральные линии не пересекаются. Для уравнения же (64) более общего вида, которое может иметь особые точки, структура интегральных линий может быть гораздо сложнее. Случай, когда уравнение (64) имеет бесконечное множество особых точек (т. е. таких точек, где числитель и знаменатель одновременно обращаются в 0), по крайней мере, когда M (х, у) и N (х, у) — многочлены, можно считать исключительным. Поэтому мы ограничимся рассмотрением только тех случаев, когда уравнение (64) имеет конечное число изолированных особых точек. Поведение интегральных линий около каждой из этих особых точек весьма существенно для составления схемы поведения всех интегральных линий этого уравнения.
Очень характерными для схемы поведения всех интегральных линий уравнения (64) являются также так называемые предельные цикла. 44 |
Глава V. Обыкновенные дифференциальные уравнения
Рассмотрим уравнение
rfP__А
т
где р и <р — полярные координаты на плоскости (х, у).
